Pythagoraan lause

Pythagoraan lause on ehkä kaikkien aikojen kuuluisin matemaattinen lause. Itse Pythagoras Samoslaisesta voit lukea muualta. Nyt heittäydymme kolmioiden pariin.

Kolmion sivun päälle piirretyn neliön pinta-ala

Pythagoraan lause kertoo meille hyödyllisen yhteyden niiden neliöiden pinta-alojen välillä, jotka piirrämme suorakulmaisen kolmion sivuille. Kuvitellaan, että meillä on tällainen suorakulmainen kolmio:

Taustalla oleva ruudukko kertoo kolmion mitat. Kateetin AC pituus on 4 ja kateetin BC pituus on 3. Mutta mikä on sivun AB eli kolmion hypotenuusan pituus? Ensi silmäyksellä emme voi pituutta selvittää. Mutta voimme yrittää laskea sen.

Piirrämme ensin neliön kateetin BC päälle. Sillä tarkoitetaan, että piirrämme neliön, jonka kaikkien sivujen pituus on sama kuin sivun BC pituus eli kolme. Kuvaan se piirrettäisiin näin:

Syntyi neliö BCDE, jonka kaikkien sivujen pituus on 3. Mikä on tällaisen neliön pinta-ala? Neliön pinta-ala lasketaan kertomalla kaksi neliön sivua keskenään, joten neliön BCDE pinta-ala on 3 · 3 = 9. Piirrämme kuvaan neliön myös toisen kateetin eli kateetin AC päälle. Tällaisen neliön sivun pituus on 4.

Tämän neliön pinta-ala on 4 · 4 = 16. Piirrämme nyt viimeisen neliön hypotenuusan AB päälle:

Tämän uuden neliön pinta-alaa emme vielä tiedä, koska emme tunne sivun AB pituutta. Nyt voimme kuitenkin hyödyntää Pythagoraan lausetta. Se nimittäin sanoo, että tämän viimeisen neliön ABHI pinta-ala on yhtä suuri kuin kahden edellisen neliön pinta-alojen summa. Kahden ensimmäisen neliön pinta-alat olivat 9 ja 16, joten viimeisen neliön pinta-ala on — Pythagoraan lauseen mukaan — 9 + 16 = 25. Piirrämme sen kuvaan:

Nyt jää enää vastata viimeiseen kysymykseen — jos neliön ABHI pinta-ala on 25, mikä on tämän neliön sivujen pituus? Sen täytyy olla luvun 25 neliöjuuri, joten sivun AB pituus on $\sqrt{25}=5$. Kun tarkistamme asian takaisinpäin ja laskemme neliön, jonka sivun pituus on 5, pinta-alaksi tulee 5 · 5 = 25. Ja nyt voimme ryhtyä lukuihin ja määritelmiin.

Määritelmä

Pythagoraan lause kuuluu suunnilleen näin: ”Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan päälle piirretyn neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kateettien päälle piirrettyjen neliöiden pinta-alojen summa”. Matemaattisesti tämä lause kirjoitetaan yleensä näin

$$c^2=a^2+b^2,$$

missä a ja b ovat kolmion kateettien pituudet ja c on hypotenuusan pituus.

Mitä Pythagoraan lause siis sanoo ja miten tämä merkintä liittyy edelliseen kuvaan? Kolmion sivun päälle piirretyn neliön pinta-ala tarkoittaa, että otamme neliön, jonka sivun pituus on yhtä suuri kuin kyseisen sivun pituus, ja laskemme sen pinta-alan. Neliön pinta-ala lasketaan kertomalla yhden sivun pituus toisella sivun pituudella, eli jos sivun pituus on c, pinta-ala A on: A = c · c, minkä voimme potenssien avulla kirjoittaa A = c².

Merkinnän c² = a² + b² voi siis lukea juuri näin: ”neliön, jonka sivun pituus on c, pinta-ala on yhtä suuri kuin neliöiden, joiden sivujen pituudet ovat a ja b, pinta-alojen summa”.

Korostan vielä kerran, että lause pätee vain suorakulmaisessa kolmiossa, ei mielivaltaisessa. Pythagoraan lausetta käytetään tyypillisesti tilanteissa, joissa tunnet kahden sivun pituuden ja tarvitset jäljellä olevan sivun pituuden. Jos siis tunnemme molempien kateettien pituudet a ja b ja haluamme hypotenuusan pituuden c, laskemme kateettien päälle piirrettyjen neliöiden pinta-alat eli laskemme a² + b². Näin saamme hypotenuusan c päälle piirretyn neliön pinta-alan eli saamme c². Saadaksemme sivun c pituuden otamme lasketusta pinta-alasta vain neliöjuuren. Saamme näin kaavan:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

missä c on hypotenuusan pituus ja a, b ovat kateettien pituudet. Jos taas tuntisimme hypotenuusan ja yhden kateetin pituuden ja haluaisimme laskea jäljellä olevan kateetin pituuden, laskisimme samoin, mutta ratkaisisimme ensin yhden kateeteista kyseisestä yhtälöstä. Jos siis tunnemme c:n ja b:n ja haluamme laskea a:n, yhtälöstä

$$c^2=a^2+b^2,$$

ratkaistaan a² vähentämällä b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

vaihdetaan vasen ja oikea puoli:

$$a^2=c^2-b^2$$

ja lopuksi otetaan neliöjuuri:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Ensimmäinen esimerkki

Olkoon kolmio ABC, jonka kahden sivun pituudet tunnemme: a = 3 ja b = 4. Se on sama kolmio, joka meillä oli alussa. Kysymys kuuluu, mikä on jäljellä olevan sivun, sivun c pituus? Yritämme laskea sen esitetyllä kaavalla. Kolmio on esitetty seuraavassa kuvassa:

Näemme, että tunnemme kahden kateetin pituudet ja hypotenuusan pituus puuttuu. Siksi käytämme ensimmäistä, muokkaamatonta kaavaa:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Sijoitamme muuttujien a ja b tilalle sivujen pituudet:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

Kaavassa on toinen potenssi — muistutuksena pätee seuraava yhteys:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Kun siis lasketaan toinen potenssi, saamme:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Tulos on, että sivun c pituus on viisi.

Toinen esimerkki

Tässä esimerkissä yritämme laskea yhden kateetin pituuden, kun yhden kateetin ja hypotenuusan pituuden tunnemme. Meillä on siis kolmio ABC, jonka sivujen pituudet ovat |AC| = 10 ja |BC| = 6. Kolmio on esitetty seuraavassa kuvassa:

Kuvasta näemme, että hypotenuusa eli pisin sivu on sivu |AC|. Tarvitsemme sivun |AB| pituuden. Sijoitamme toiseen kaavaan, jolla lasketaan kateetin pituus:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Jotta käyttäisimme Pythagoraan lausetta oikein, meidän on nyt ymmärrettävä, mitä mikin muuttuja tarkoittaa. Tässä kaavassa muuttuja a on sen sivun pituus, jonka haluamme laskea, meidän tapauksessamme sivu |AB|. Muuttuja c on hypotenuusan eli pisimmän sivun pituus, meidän tapauksessamme sivu |AC|. Ja muuttuja b on sen kateetin pituus, jonka tunnemme, meidän tapauksessamme |BC|. Siksi sijoitamme kaavaan näin:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Sijoitamme tuntemamme sivujen pituudet:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Lasketaan potenssit ja vähennetään:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Ja lopuksi otetaan neliöjuuri:

$$|AB|=8$$

Sivun |AB| pituus on kahdeksan.

Sanallinen tehtävä

Kuvittele, että kävelet ystäväsi luo suoraa tietä pitkin. Tien pituus on 250 metriä. Tämän neljänneskilometrin jälkeen käännyt vasemmalle ja kävelet vielä 100 metriä, ja olet hyvän ystäväsi luona. Kysymys kuuluu, kuinka paljon lyhyempi matka on, jos kuljet suoraan pellon poikki?

Ensimmäiseksi lasketaan matkan pituus, kun kuljet tietä pitkin. Kuljet ensin 250 metriä suoraan ja sitten 100 metriä vasemmalle. Se on yhteensä 250 + 100 = 350 metriä. Nyt on vuorossa pellon poikki kulkevan matkan laskeminen. Siihen tarvitaan kuva.

Yksi ruutu kuvassa on 50 metriä. Miltä suora reitti pellon poikki näyttäisi? Se olisi jana pisteestä A pisteeseen C. Piirrämme sen kuvaan punaisella värillä.

Nyt jo näemme, että pellon poikki kulkevan matkan laskemiseen riittää Pythagoraan lauseen sopiva soveltaminen. Etsimme hypotenuusan pituutta ja tunnemme molempien kateettien pituudet, joten käytämme ensimmäistä kaavaa ja täydennämme sen näin:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Sijoitamme pituudet:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Korotamme potenssiin:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Otamme neliöjuuren ja pyöristämme:

$$|AC|=269$$

Pellon poikki kulkevan matkan pituus on 269 metriä. Esimerkki ei ole vielä loppu, kysymys kuului, kuinka paljon lyhyempi pellon poikki kulkeva matka on. Vähennämme siis pituudet toisistaan, merkitään erotusta r:

$$r=350-269=81$$

Vastaus on, että matka on noin 81 metriä lyhyempi.

Neliön sivun pituus

Mikä on sen neliön sivun pituus, jonka lävistäjän pituus on kymmenen? Miten Pythagoraan lause auttaa siinä? Neliöstä on löydettävä jokin suorakulmainen kolmio, jota käyttäisimme neliön sivun pituuden laskemiseen. Muistutuksena: neliössä on neljä yhtä pitkää sivua. Piirretään nykyinen tilanne:

Näemme, että neliöön ilmestyi yhtäkkiä kaksi kolmiota, joissa on suorakulma ja joita voisimme käyttää sivun pituuden laskemiseen. Otetaan vaikkapa kolmio BCD. Sivu DB on hypotenuusa, kaksi muuta ovat kateetteja. Kateettien pituuksia emme tunne, mutta tunnemme hypotenuusan pituuden. Nämä kateetit ovat yhtä pitkät, eli |BC| = |CD|. Käytämme Pythagoraan lauseen perusmuotoa:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Koska kateetit ovat yhtä suuret, riittää laskea yhden kateetin toinen potenssi ja kertoa se kahdella — meidän ei tarvitse laskea molempien kateettien toista potenssia, koska ne ovat samat ja saisimme saman tuloksen. Voimme siis kirjoittaa:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Tiedämme sivun BD pituuden, se on hypotenuusa. Pituus on kymmenen. Sijoitamme yhtälöön:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Korotamme luvun kymmenen toiseen potenssiin:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Jaamme kahdella:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Supistetaan murtoluku:

$$50=|BC{|}^2$$

Nyt olemme jo melkein perillä. Tiedämme, että neliön sivun pituuden toinen potenssi on 50. Selvittääksemme sivun pituuden meidän on vielä otettava yhtälön neliöjuuri, minkä voimme tehdä, koska käsittelemme positiivisia lukuja:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Jätämme luvun viisikymmentä neliöjuuren tähän muotoon, mutta yhtälön oikealla puolella voimme poistaa neliöjuuren ja potenssin, koska ne kumoavat toisensa.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Jos haluat, voit ottaa neliöjuuren myös viidestäkymmenestä. Pyöristettynä saisit seitsemän:

$$7=|BC|$$

Neliön sivun pituus on siis likimain seitsemän, tarkasti viidenkymmenen neliöjuuri.

Laskin

Hypotenuusan voi laskea molemmista kateeteista ja kateetin hypotenuusasta ja toisesta kateetista. Kunkin kentän yksikön voi vaihtaa.