Matrice de passage

Si l’on a un espace vectoriel V et deux de ses bases, on peut exprimer un même vecteur de l’espace comme combinaison des vecteurs de chacune des deux bases. La matrice de passage nous aide alors à convertir une expression en l’autre.

Motivation

Prenons un espace vectoriel V de dimension n et deux de ses bases différentes E = {e₁ ; … ; e_n} et F = {f₁ ; … ; f_n}. Choisissons ensuite un vecteur x de V. Comme x appartient à l’espace V et que E et F sont des bases de cet espace, il existe des coefficients a₁, …, a_n tels que :

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

et il existe aussi des coefficients b₁, …, b_n tels que :

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Dans le premier cas, on exprime le vecteur x à l’aide de la base E, dans le second à l’aide de la base F. On utilise deux bases différentes pour exprimer x, et l’on obtient donc deux jeux de coefficients différents, les a_i et les b_i. La question se pose : si l’on connaît les coefficients b_i, existe-t-il un moyen d’en déduire les coefficients a_i, c’est-à-dire l’expression par rapport à la première base ?

Oui, c’est à cela que sert ce que l’on appelle la matrice de passage.

Comment obtenir la matrice de passage

Gardons l’espace V et les deux bases E = {e₁ ; … ; e_n} et F = {f₁ ; … ; f_n}. Comme E est une base de l’espace V, tous les vecteurs f₁, …, f_n peuvent eux aussi s’exprimer comme combinaisons linéaires de vecteurs de la base E. Les vecteurs f₁, …, f_n font certes partie de la base F, mais ce sont aussi des éléments ordinaires de l’espace V, donc on a :

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Réécrivons maintenant ces égalités sous forme de matrice : la première colonne contient les coefficients du vecteur $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, c’est-à-dire les a_i1, la deuxième les coefficients du vecteur $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, c’est-à-dire les a_i2, etc. On obtient la matrice :

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Une telle matrice s’appelle la matrice de passage de la base E à la base F. Si l’on a un vecteur x = (x₁ ; … ; x_n) de V dont les coefficients par rapport à la base F sont b₁, …, b_n, alors on obtient les coefficients a₁, …, a_n par rapport à la base E ainsi :

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Exemple

Travaillons dans l’espace vectoriel ℝ³. Choisissons comme première base la base canonique E = {(1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1)} et comme seconde base F = {(2 ; 0 ; 0) ; (3 ; 2 ; 0) ; (1 ; 5 ; 4)}. La matrice de passage de la base E à la base F est

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Choisissons maintenant un vecteur quelconque x ∈ ℝ³, par exemple x = (12 ; 41 ; 28). Ses coefficients par rapport à la base F sont b₁ = −2 ; b₂ = 3 ; b₃ = 7. On effectue donc le produit de matrices :

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Par rapport à la base E, le vecteur x a pour coefficients a₁ = 12 ; a₂ = 41 ; a₃ = 28. On a donc :

$$(12;41;28)=12\cdot (1;0;0)+41\cdot (0;1;0)+28\cdot (0;0;1)$$