Réunion, intersection, différence et complémentaire d’ensembles

Entre ensembles, on peut effectuer diverses opérations. Les plus fondamentales sont la réunion, l’intersection, la différence et le complémentaire.

Réunion d’ensembles

On note la réunion d’ensembles avec le symbole ∪ : la réunion des ensembles A et B s’écrit A ∪ B (on lit « A union B »). La réunion des ensembles A et B est un nouvel ensemble, qui contient tous les éléments de l’ensemble A ainsi que tous les éléments de l’ensemble B. Définition :

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Exemple : prenons deux ensembles A = {1 ; 3 ; 5 ; 7} et B = {2 ; 4 ; 6}. Leur réunion est l’ensemble : A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}. L’ensemble obtenu contient les éléments des deux ensembles.

Un autre exemple : A = {1 ; 2 ; 3} et B = {2 ; 3 ; 4}. La réunion donne : A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4}. Les éléments 2 et 3 ne figurent pas deux fois dans l’ensemble obtenu, car un ensemble ne contient pas un élément plusieurs fois.

Autres propriétés :

• A ∪ A = A : si l’on réunit deux ensembles identiques, on obtient de nouveau le même ensemble.
• A ∪ B = B ∪ A : la réunion est commutative, l’ordre n’a pas d’importance.
• A ∪ ∅ = A : l’ensemble vide ne contient aucun élément, il n’y a donc rien à ajouter.

Intersection d’ensembles

L’intersection de deux ensembles A et B est un nouvel ensemble, qui contient les éléments que ces deux ensembles ont en commun. Plus précisément, le nouvel ensemble contient les éléments qui appartiennent à A et en même temps à B. On note l’intersection avec le symbole ∩ (on lit « A inter B »). Définition :

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Exemple : A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} et B = {4 ; 5 ; 6 ; 7}. L’intersection est égale à A ∩ B = {5 ; 7}. Un autre exemple : A = {a ; b ; c ; d ; e} et B = {f ; g ; h ; i ; j}. L’intersection est égale à : A ∩ B = ∅. Ces ensembles n’ont aucun élément commun, leur intersection est donc l’ensemble vide.

Autres propriétés :

• A ∩ A = A : l’intersection de deux ensembles identiques est de nouveau le même ensemble.
• A ∩ B = B ∩ A : l’intersection est commutative, l’ordre n’a pas d’importance.
• A ∩ ∅ = ∅ : l’ensemble vide ne contient aucun élément, il n’a donc sûrement aucun élément en commun avec l’ensemble A.

Différence d’ensembles

La différence de deux ensembles se note avec le symbole habituel du moins − ou, mieux, avec un « moins » penché ∖ (on lit « A privé de B »). La différence de deux ensembles A et B est l’ensemble qui contient tous les éléments de A et aucun élément de B. En bref : tu regardes quels éléments le premier ensemble a en commun avec le second, puis tu les retires. Définition :

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Exemple : A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} et B = {4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}. La différence est alors égale à A ∖ B = {1 ; 2 ; 3}. Ce sont les éléments qui nous restent quand on retire de l’ensemble A tous les éléments qui sont dans l’ensemble B. Un autre exemple : A = {a ; b ; d ; e}. La différence A ∖ A = ∅.

Autres propriétés :

• A ∖ A = ∅ : de même que, si l’on soustrait deux nombres égaux, on obtient zéro (par exemple 5 − 5 = 0), si l’on retire deux ensembles égaux l’un de l’autre, on obtient l’ensemble vide.
• A ∖ ∅ = A : l’ensemble vide ne contient aucun élément, on ne peut donc retirer aucun élément de l’ensemble A.

Complémentaire d’un ensemble

Le complémentaire d’un ensemble A se note de plusieurs façons, mais le plus souvent avec une barre au-dessus : $\bar{A}$. Pour calculer le complémentaire de l’ensemble A, il faut savoir dans quel ensemble on le calcule (l’ensemble de référence). Le complémentaire représente en effet tous les éléments qui ne sont pas dans l’ensemble A : c’est une sorte de contraire de l’ensemble A.

Si l’ensemble de référence est M = {1 ; 2 ; 3 ; … ; 9 ; 10}, alors le complémentaire de l’ensemble A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10} dans M est l’ensemble $\bar{A}=\{1;3;5;7;9\}$. Il contient tous les éléments de M qui ne sont pas dans A. On peut dire que $\bar{A}$ dans M est égal à M ∖ A.

Si l’on prend pour ensemble de référence les entiers relatifs, alors le complémentaire de l’ensemble des nombres pairs est l’ensemble des nombres impairs. Le complémentaire de l’ensemble A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} est l’ensemble $\bar{A}=\{\dots ;-3;-2;-1;0;5;6;7;\dots \}$.

Si l’on prend deux fois le complémentaire, on retrouve l’ensemble de départ. Par exemple dans les entiers relatifs : le complémentaire des nombres pairs est l’ensemble des nombres impairs, et le complémentaire des nombres impairs est de nouveau l’ensemble des nombres pairs. On a donc $A=\overline{\stackrel{―}{A}}$ (le complémentaire du complémentaire de A).