Számok osztása

A számok osztása a szorzás fordított művelete. Az osztás ugyanakkor remek forrása a humornak is, mert – mint mindenki tudja – nullával nem oszthatunk, hiszen leégne a füzetünk.

Mi az osztás

Az osztást úgy képzelhetjük el, mint egy nagy egész szétosztását egyforma kisebb darabokra. Mondjuk apukának egy 100 cm hosszú deszkát kell öt egyforma darabra fűrészelnie. Milyen hosszú lesz egy-egy darab?

Mehetünk visszafelé is: ha összeadjuk mind az öt levágott darab hosszát, vissza kell kapnunk a 100-at. Melyik szám felel meg ennek? A 20, mert 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Összeadás helyett használhatjuk a szorzást is. Megkérdezhetjük, melyik számot kell megszorozni öttel, hogy százat kapjunk. Megint a 20-at, mert 5 · 20 = 100.

Grafikusan úgy ábrázolhatnánk, hogy a 100 hosszú szakaszt öt egyforma hosszú részre osztjuk:

Amikor a 100-at osztjuk 5-tel, azt keressük, „hányszor fér bele az öt a százba”. Az osztást vagy perjellel írjuk: 100 / 5, vagy kettősponttal: 100 : 5. Két szám osztásának eredménye a hányados. A példáinkban a 20 a 100 és az 5 hányadosa. A bal oldali számot osztandónak, a jobb oldalit osztónak nevezzük. Az osztást törttel is felírhatjuk: a 100 / 5 helyett írhatjuk azt, hogy $\frac{100}{5}$. Az elnevezések összefoglalva:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a-t osztandónak nevezzük,
• b-t osztónak nevezzük,
• c-t hányadosnak nevezzük.

Definíció a szorzással

A hányadost a legegyszerűbben a szorzással definiálhatjuk. Példaként vegyük a 35 / 7 hányadost. Mi lesz az eredmény? Olyan számot keresünk, amelyet 7-tel megszorozva 35-öt kapunk. Ha a 48 / 8 osztást végeznénk, olyan számot keresnénk, amely 8-cal szorozva 48-at ad.

A 35 / 7 eredménye tehát 5, mert 7 · 5 = 35. A 48 / 8 eredménye 6, mert 8 · 6 = 48.

Ha általában az a / b osztást végezzük, akkor az eredmény az a c szám, amelyre b · c = a.

Bár az összes példát természetes számokon mutattuk meg, a szorzással adott definíciónak köszönhetően bármilyen más számot is oszthatunk. Megkereshetjük például a −85,76 / 6,7 hányadost úgy, hogy keresünk egy olyan x számot, amelyre 6,7 · x = −85,76. Ez az x = −12,8 esetén teljesül.

A nullát oszthatjuk más számmal

A nullát oszthatjuk valamilyen számmal, ez érvényes kifejezés: 0 / 15. Lényegében azt mondjuk vele, hogy a nullát 15 egyforma részre akarjuk osztani. Elképzelhetjük úgy, hogy nincs egyetlen piténk sem, és ezt a pitét, amink nincs, 15 részre akarjuk osztani – mekkorák lesznek az egyes részek? Nulla nagyságúak, mert egyszerűen nincs piténk. Vagy képzeld el, hogy nulla forint van a pénztárcádban, és ezt a nulla forintot három gyerek között akarod elosztani. Mennyit kap egy-egy gyerek? Egy petákot sem, mert egyszerűen nincs semmid. Ezért 0 / 15 = 0.

A nullát oszthatjuk más számmal, de más számot nem oszthatunk nullával. Ez a kifejezés érvénytelen: 8 / 0.

De miért nem oszthatunk nullával?

Nullával azért nem oszthatunk, mert a tizenegyedik parancsolat tiltja.

Léteznek azonban súlyosabb okok is. Egyelőre azzal az esettel foglalkozunk, amikor az osztandó nem nulla – az osztás a / 0 alakú, ahol a ≠ 0. Két okot sorolunk fel:

1. Maradjunk az analógiánál, amikor egy egészet kisebb, egyforma részekre osztunk. Van 15 sárkányunk, mégpedig a legvadabbak. Most el akarjuk osztani őket nulla gyerek között. Hány sárkányt kap egy-egy gyerek?

Ejha???

Igen, jól olvasod a feladatot, és igen, nincs értelme. Nem kérdezhetjük, hány sárkányt kapott egy-egy gyerek, ha egyetlen gyerek sem volt, akinek odaadhattuk volna őket. Ezért a nullával való osztásnak sincs értelme, és azt mondjuk, hogy az x / 0 kifejezés nincs értelmezve.

2. Az osztást a szorzással vezettük be. Amikor megpróbáljuk a 15 / 0 osztást elvégezni, olyan x számot keresünk, amelyre x · 0 = 15. Csakhogy bármit szorzunk nullával, nullát kapunk, így sosem találunk olyan x-et, amelyre ez az egyenlet értelmet nyerne.

És mi a helyzet a 0/0 hányadossal?

Ez ugyanúgy nincs értelmezve, mint az x / 0. Az okok:

Ezúttal nulla darab legvadabb sárkányunk van, és nulla gyerek között akarjuk szétosztani őket. Ez megint értelmetlen kívánság.

Az osztás definíciója szerint, amikor a 0 / 0 osztást végezzük, olyan x számot keresünk, amelyre x · 0 = 0. Találnánk megoldást, pontosabban: bármelyik valós szám megoldása ennek az egyenletnek. Akár a 4-et, akár az 1-et, akár a π-t helyettesítjük x helyére, az egyenlet teljesül. Persze nem megengedhető, hogy az osztás eredménye a valós számok egész halmaza legyen, annak nincs értelme.

Ki kellene választanunk a halmazból egyetlen konkrét számot, és azt mondanunk, hogy éppen ez a 0 / 0 osztás eredménye. De melyik? Legyen egy? Nyolc? Nulla? Mínusz egy? És miért? Próbáljunk érveket felhozni a nulla és az egyes mellett:

1. Tudjuk, hogy ha van egy x / x alakú törtünk, akkor az a tört egyenlő eggyel. Például 7 / 7 = 1 vagy 3 / 3 = 1. Ebből arra következtethetnénk, hogy a 0 / 0-t úgy kellene definiálnunk, hogy 0 / 0 = 1 legyen.
2. Nézzük meg ezt a biztosan érvényes törtekből álló sorozatot. Mindegyikben a nullát olyan számmal osztjuk, amely egyre jobban megközelíti a nullát:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Látjuk, hogy bármilyen közel is van a nullához az osztó, a hányados továbbra is nulla. Ebből arra következtethetnénk, hogy 0 / 0 = 0.

Mindkettő érvényes érv amellett, hogyan definiálhatnánk a 0 / 0 hányadost. Csakhogy melyik a jobb? Végül, ha az egyiket ki is választanánk, és az egyetlen érvényesnek nyilvánítanánk, akkor is ellentmondásba kerülnénk a matematika más részeivel.

Ezért a nullával való osztást inkább definiálatlanul hagyjuk.

Végső érv a nullával való osztás ellen

Ha az előző érvek nem lennének elegendők, remélhetőleg meggyőz a következő fényképes dokumentáció egy esetről, amikor valaki tényleg megpróbált nullával osztani: