Törtek összeadása, kivonása, szorzása és osztása

Törttel bármilyen racionális számot felírhatunk. A tört két részből áll. A felső részét számlálónak, az alsót nevezőnek hívjuk. Létezik összetett tört is, ami nem más, mint olyan tört, amelynek a számlálójában vagy a nevezőjében újabb tört áll. Egyébként a törtek közötti jeleket (plusz, mínusz, egyenlőségjel stb.) mindig a törtvonal magasságában írjuk, nem a számláló és nem a nevező magasságában. És különben is, tudtad, hogy öt emberből négynek gondja van a törtekkel?

Alapvető tudnivalók

A tört alakja a következő:

$$\frac{\text{számláló}}{\text{nevező}}$$

Példa a törtre a

$$\frac{2}{5},$$

vagyis két ötöd. A nevezőt azért hívjuk nevezőnek, mert megnevezi a törtet. Ötöd, harmad, hatod… ez a tört fő neve, és a törtvonal alatti számból származik. A számláló ezzel szemben a darabszámot adja meg, az előző példában ez két ötöd volt. Ennyit az elnevezésekről.

A számlálóban és a nevezőben elvileg bármilyen szám vagy akár újabb tört állhat, a leggyakrabban azonban olyan törttel találkozunk, amelynek a számlálója és a nevezője is természetes szám.

A tört csak másképp felírt osztás, a tört értékét úgy számítjuk ki, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel. Tehát ha van egy $\frac{a}{b}$ törtünk, akkor a tört értéke az a/b szám. Az előző tört (két ötöd) értéke így 2/5, vagyis 0,4.

Átalakítás egyszerűsített alakra

A törtekkel sokféleképpen dolgozhatunk, és megváltoztathatjuk az alakjukat – bővíthetjük és egyszerűsíthetjük őket –, miközben a tört értéke egyáltalán nem változik. Szavakkal is könnyen elképzelhető: az egyketted ugyanannyi, mint a kétnegyed vagy a négynyolcad. Ez abból következik, hogy a tört csak álruhás osztás. Az egyketted számhoz pedig többféle szám osztásával is eljuthatunk. A négy osztva nyolccal egyketted. A tíz osztva húszzal is egyketted. Ezért a

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

törtek értéke egyenlő.

Mint látod, úgy jutottunk további, azonos értékű törtekhez, hogy az eredeti 1/2 törtben a számlálót is és a nevezőt is megszoroztuk kettővel. A szorzás után a 2/4 törtet kaptuk, vagyis a kétnegyedet. Ha ennél a törtnél is megszorozzuk a számlálót és a nevezőt kettővel, megkapjuk a 4/8 törtet, a négynyolcadot. Ilyenkor a törtet bővítettük.

A bővítés fordítottja a tört egyszerűsítése, amikor a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal a számmal osztjuk. Ha egyszerűsíteni akarunk egy törtet, olyan számot kell találnunk, amellyel a számláló és a nevező is maradék nélkül osztható. A törtek egyszerűsítését a gyakorlatban nagyon gyakran használjuk, mert az egyszerűsítéstől a tört jóval egyszerűbb lesz, és könnyebb vele dolgozni. Ha van egy 12/18 törtünk, első pillantásra látjuk, hogy mindkét szám páros, tehát osztható kettővel. Természetesen egyszerűsíthetnénk a törtet kettővel, de második pillantásra az is kiderül, hogy a számláló és a nevező hattal is osztható. Ha hattal egyszerűsítünk, egyszerűbb törtet kapunk, mintha csak kettővel egyszerűsítenénk. Ezért a törtet hattal egyszerűsítjük. A 2/3 törtet kapjuk.

Ez a tört már nem egyszerűsíthető tovább, nincs olyan (egynél nagyobb) szám, amellyel a számlálót és a nevezőt is maradék nélkül elosztanánk. Az olyan törtről, amely már nem egyszerűsíthető tovább, azt mondjuk, hogy egyszerűsített alakban van. Törekedj arra, hogy mindig egyszerűsített alakú törtekkel dolgozz, és ha valahol törtekkel számolsz, először nézd meg, nem lehet-e valamelyiket egyszerűsíteni. Időt spórolsz vele. Még egy példa:

$$\frac{24}{42}$$

Melyik számmal osztható a 24 és a 42 is? Mindkettő páros, tehát biztosan a kettővel. Osszuk el a számlálót és a nevezőt is kettővel:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Van olyan szám, amely mindkét számot osztja? Igen, most a három.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Van még mindig olyan szám, amely a számlálót és a nevezőt is osztja? Nincs, a tört egyszerűsített alakban van.

Törtek szorzása

Talán meglepődsz, de a törtek szorzása és osztása egyszerűbb, mint az összeadásuk és kivonásuk. Ha két törtet kell összeszorozni, egyszerűen összeszorozzuk az első tört számlálóját a második tört számlálójával, és a nevezőt a nevezővel. Ez minden. Példa a törtek szorzására:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

A törtek szorzásánál van egy további egyszerűsítési mód is. Nem kell csak egy törten belül egyszerűsítenünk, egyszerűsíthetünk keresztbe is. Ha az első tört számlálója egyszerűsíthető a második tört nevezőjével, megtehetjük, és megkönnyítjük a szorzást. Példa (az egyszerűsített számok ki vannak emelve):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Mit csináltunk? A négyet is és a nyolcat is elosztottuk néggyel. A szorzat értéke nem változott. Ha most nem egyszerűsítenénk, megtehetnénk a szorzás után is.

A tört egész számmal való szorzását egyszerűen két tört szorzására vezetjük vissza úgy, hogy a c egész számot c/1 alakban írjuk fel:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Mint látod, ha egy törtet egész számmal szorzol, elég a tört számlálóját megszorozni ezzel a számmal.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Törtek osztása

A törtek osztása gyakorlatilag ugyanaz, mint a szorzás. Ha egy törtet el akarsz osztani egy másikkal, a második törtet (az osztót) megfordítod, és a törteket a szokásos módon összeszorzod. Egyszerű példa a törtek osztására (figyeld meg, hogy a tört megfordítása után egyszerűsíthetjük a 12-t és a 6-ot):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Az osztást úgy alakítottuk szorzássá, hogy a $\frac{6}{11}$ törtet megfordítottuk $\frac{11}{6}$-ra, és összeszoroztuk a másik, változatlan törttel. Miért működik ez így? Elég elképzelni egy egyszerűbb példán, például az egyketteddel való osztáson. Ha osztunk

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

akkor tulajdonképpen mit csinálunk? Azt keressük, hányszor fér bele az egyketted a tízbe. Minden egységbe az egyketted pontosan kétszer fér bele (kétszer egyketted az egy), így a tízbe húszszor fér bele. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha összeszorozzuk a kettőt és a tízet – az is húsz. És milyen értéket kapunk, ha megfordítjuk az egykettedet? Kétegészet, ami kettő.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Az eredmény tehát:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Törtek összeadása

Az összeadás már valamivel bonyolultabb. A törteket ugyanis csak akkor adhatjuk össze, ha egyenlő a nevezőjük. Ha a törtek nevezője nem egyenlő, közös nevezőre kell hoznunk őket. Utána ugyanúgy járunk el, mint a szorzásnál, egyszerűen összeadjuk az első tört számlálóját a második tört számlálójával. A szorzással ellentétben viszont a nevezőt változatlanul hagyjuk. Először egy példa az azonos nevezőjű törtek összeadására:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Van értelme? Egyketted meg ötketted az hatketted – ennek elég jól van értelme.

Ha a törtek nevezője nem egyenlő, ami gyakoribb eset, a törteket közös nevezőre kell hoznunk, vagyis az egyik törtet vagy mindkettőt úgy kell bővítenünk, hogy egyenlő nevezőt kapjunk. Adjuk össze ezt a két törtet:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Az első tört nevezőjében három, a másodikéban kettő áll. Így nehezen adhatjuk össze őket, de ha az első törtet kettővel bővítjük, a nevezőjében hat lesz, és ha a második törtet hárommal bővítjük, a nevezőjében szintén hat lesz. Most már mindkét törtnek ugyanaz a nevezője, és egyszerűen összeadhatjuk őket. Az első lépésben tehát úgy bővítjük a törteket, hogy egyenlő legyen a nevezőjük:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Most pedig már csak összeadjuk a számlálókat, a nevezőt pedig változatlanul hagyjuk:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Vigyázz, összeadásnál nem egyszerűsíthetünk a törtek között keresztbe, mint a szorzásnál. Például az átalakítás után az első tört nevezőjében hat, a második tört számlálójában tizenöt állt. Mégsem egyszerűsíthetünk hárommal:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Ezt az egyszerűsítést csak akkor engedhetnénk meg magunknak, ha a törteket szoroznánk:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Hogyan hozzunk általában két törtet közös nevezőre? Az első törtet bővítjük a második tört nevezőjével, a második törtet pedig az első tört nevezőjével. Általánosan így írhatjuk fel:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Az első törtet a d kifejezéssel bővítettük, ami a második tört nevezője. A második törtet a b kifejezéssel bővítettük, ami az első tört nevezője. Konkrét példa:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Az első törtet nyolccal, a második törtet néggyel bővítettük. Ezek után a törteket már összeadhatjuk.

A törtek összeadásának általános képlete tehát így néz ki:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Törtek kivonása

A törtek kivonása pontosan úgy megy, mint az összeadásuk, csak a kapott számlálókat nem összeadjuk, hanem kivonjuk. Az előző általános összeadási képletet tehát így módosítjuk:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Konkrét példa; először közös nevezőre hozzuk:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Most pedig már csak kivonjuk a számlálókat, a nevezőt pedig változatlanul hagyjuk:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

A keresztbeszorzás szabálya

Az egyenleteknél használhatjuk a keresztbeszorzás szabályát, amely leegyszerűsíti két tört egyenlőségét. Gyakorlatilag nem más, mint az adott egyenlet két ekvivalens átalakítása. Legyen tehát egy egyenletünk két törttel:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Ezt az egyenletet úgy alakíthatjuk át, hogy megszorozzuk az első, majd a második tört nevezőjével. Először megszorozzuk az egyenletet az első tört nevezőjével, vagyis a b kifejezéssel. Azt kapjuk, hogy

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Ezután megszorozzuk az egyenletet a d kifejezéssel, és azt kapjuk, hogy

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Az első törtben egyszerűsítjük a b-t, a másodikban a d-t. Az eredmény az

$$ad=bc$$

egyenlet. Ezt tehát tekinthetjük képletnek: ha az egyenletünk két tört alakjában áll, így alakíthatjuk át:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Most jön egy példa. Az első lépésben felírjuk a törteket az előző képlet szerint, a másodikban pedig már csak kicsit átalakítjuk a két oldalon álló kifejezéseket.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Az egyenletet innen már hagyományos másodfokú egyenletként kellene megoldani, de ez már kívül esik ennek a cikknek a témáján.

Kapcsolódó témák

A törtek gyakran szerepelnek a kifejezések egyszerűsítésénél, erről szól a törtkifejezések című cikk. Külön létezik egy algoritmus a polinomok polinommal való osztására is.