Összeadás és kivonás
Az összeadás és a kivonás a legalapvetőbb matematikai műveletek, amelyekre a mindennapi életben is szükségünk van. Bár sokféle struktúrát összeadhatunk, itt csak az egész számok összeadásával foglalkozunk.
Összeadás
Az összeadás jele a plusz jel +. Az összeadásnál összeadandókat adunk össze, tehát ha a 2 + 3 összeget akarjuk kiszámolni, akkor a kettest is, a hármast is összeadandónak nevezzük. Az eredmény az összeg, vagyis a 2 + 3 = 5 kifejezésben az ötös az összeg.
Összeadni gyakorlatilag bármilyen számot tudunk, akár természetes számokat, például 1, 5, 157, akár negatív számokat, például -4, -74. Összeadhatunk továbbá racionális számokat, azaz törteket, valós számokat, például π-t, és végül komplex számokat is. Más struktúrákat is összeadhatunk – mátrixokat vagy vektorokat.
Az összeadást általában egy halom almán szokták magyarázni – ha van a kosaradban három alma, és valaki ad még négyet, hány almád lesz? Összesen 3 + 4 = 7 almád lesz.
Hogyan adjunk össze nagy számokat
Ha azt a feladatot kapnád, hogy add össze a 17564-et és a 3272-t, valószínűleg fejben már nem tudnád rávágni az eredményt. Ezért vagy zsebszámológépet használunk, vagy ceruzát és papírt. Azt, hogyan kell a számológépbe beütni, nem fogom tanítani, koncentráljunk inkább a papíron végzett eljárásra.
Az összeadandó számokat egymás alá írjuk, és jobbra igazítjuk – úgy, hogy az azonos helyi értékek (tízesek, százasok, …) egymás alá kerüljenek. Mindkét szám alá vízszintes vonalat húzunk. Tehát így nézne ki:
Most összeadjuk az egymás alatt álló számjegyeket. Ha az összeg kisebb tíznél, egyszerűen odaírjuk a vonal alá. Jobbról haladunk, a legkisebb helyi értéktől. Először tehát a 4 + 2 összeget számoljuk ki, ami hat. A hat kisebb tíznél, ezért a vonal alá a hatost írjuk:
Folytatjuk a 6 + 7 összeggel. Ez 13, ami már nagyobb tíznél. Ilyenkor a vonal alá csak az egyesek helyén álló számjegyet írjuk, vagyis a hármast (a tizenhármból levonunk tízet).
Mi lett azzal az egyessel, amelyet levágtunk? És mit jelent? Most a jobbról második oszlopban számolunk, ami a számban a tízeseket jelenti. Valójában tehát tízeseket adtunk össze, vagyis 60 + 70 = 130. Úgy döntöttünk, hogy a 30-at megtartjuk, a 100-at pedig későbbre tesszük félre. Mikorra? A következő lépésre, a következő oszlopra. A következő lépésben azokat a számjegyeket adjuk össze, amelyek a százasoknak felelnek meg. Nekünk pedig van egy plusz százasunk, amelyet a tízesek összeadásakor kaptunk. Nincs is egyszerűbb, mint hogy ezt a százast a következő lépésben hozzáadjuk.
Tehát ahelyett, hogy a következő lépésben az 5 + 2 összeget számolnánk, az 5 + 2 + 1 összeget számoljuk, ahol az egyes az előző lépésben kapott százast jelenti. Az eredmény nyolc, ami kisebb tíznél. A vonal alá tehát nyolcast írunk.
A következő lépésbe nem kerül plusz ezres, így csak ennyit számolunk: 7 + 3 = 10. Ez a szám nem kisebb tíznél, ezért a vonal alá az utolsó számjegyet írjuk, az egyes pedig megy tovább. A vonal alá tehát nullát írunk, a következő lépésre pedig megtartunk egy plusz tízezrest.
Az utolsó oszlopban már csak az első sorban van számjegy. A második sorba képzeljünk nullát, és számoljuk ki az 1 + 0 összeget, közben ne felejtsük el hozzáadni az előző lépésből átvitt egyest: 1 + 0 + 1 = 2. A vonal alá a kettest írjuk.
Ezzel az algoritmus véget ér, és megkaptuk a 17564 + 3272 összegét.
Az írásbeli összeadás animációja
A következő mezőkbe beírhatsz két természetes számot, és utána már csak gyönyörködhetsz az egész eljárás animációjában.
Az összeadás szemléltetése
Az összeadást a számegyenesen is szemléltethetjük. A számegyenes olyan egyenes, amelyen az összes szám fel van tüntetve. Így nézhet ki:
Ha ezen a számegyenesen két szám összeadását akarnánk szemléltetni, például a 3+4-ét, így járnánk el: rajzolnánk egy szakaszt, amely a kezdőpontban, vagyis a nullában kezdődik, és a hármasban végződik. Összeadáskor a szakaszt annak a pontnak a jobb oldalára rajzoljuk, ahonnan indultunk. Tehát így:
Most felmérjük a számegyenesre a négyest. Ezúttal viszont már a hármasból indulunk, és onnan jobbra vezetünk egy négy hosszúságú szakaszt. Így:
A pont, ahol a második, zöld szakasz véget ért, a végeredményt jelenti: 3 + 4 = 7.
Kivonás
A kivonás az összeadás inverz művelete. Ha egy a számhoz hozzáadod a b számot, majd visszafelé kivonod belőle a b-t, visszakapod az a számot. Az eljárást a 158 748 − 99 575 példán mutatjuk meg. Ahogy az összeadásnál, most is egymás alá írjuk a számokat:
A vonal alá írjuk az eredményt, ugyanúgy, mint az összeadásnál. Jobbról haladunk, a legkisebb helyi értékektől. Először tehát az egyeseket számoljuk ki. Ha a felső szám nem kisebb az alsónál, a vonal alá a különbséget írjuk: felső szám − alsó szám. (Vagy fordítva – ha az alsó szám kisebb vagy egyenlő, akkor nyugodtan kivonhatunk.) Az egyesek helyén a felső szám nem kisebb, ezért a 8 − 5 = 3 különbséget írjuk.
Lépünk egy számjeggyel balra, a tízesek helyére. Itt a felső szám már kisebb az alsónál. Ilyenkor a felső számhoz hozzáadunk tízet, és ugyanúgy számolunk tovább: felső szám + 10 − alsó szám. Az eredmény 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
A tízeseknél tehát úgy segítettünk magunkon, hogy beszámoltunk tíz tízest, és erre gondolnunk kell a következő lépésben. Tíz tízes egy százas, ezért a következő lépésben eggyel több százast vonunk ki. Ez azt jelenti, hogy az alsó ötöshöz hozzáadjuk az előző lépésből átvitt egyest.
A százasok helyén tehát azt vizsgáljuk, hogy a hetes (felső szám) kisebb-e a hatosnál (alsó szám + 1). Nem kisebb, ezért elvégezhetjük a szokásos különbséget: felső mínusz alsó. A különbségnél azonban az alsó számhoz hozzá kell adni az egyest, így az eredmény 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
A következő lépésbe semmit sem viszünk át, ebben a lépésben nem kellett magasabb helyi értéket kölcsönvennünk. Az ezreseknél tehát semmihez sem adunk hozzá. Viszont a felső szám nyolcasa kisebb az alsó szám kilencesénél, ezért a felső számhoz tízet kell hozzáadnunk. A különbség így 8 + 10 − 9 = 9.
A következő lépésbe egy egyest viszünk át, és hozzáadjuk az alsó számhoz. Kilenc meg egy az tíz, a felső ötös kisebb tíznél. A felső számhoz hozzáadunk tízet, és kivonunk: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Ismét magasabb helyi értékkel segítettünk magunkon, ezért egy egyest viszünk át a következő lépésbe. Ott az alsó sorban hiányzik a számjegy, ezért nullát feltételezünk. Ha hozzáadunk egyet, az eredmény egy. A felső szám nem kisebb az alsónál (most egyenlő vele), ezért egyszerűen kivonhatunk: 1 − 1 = 0.
És megvan az eredmény. A legelöl álló nullát elhagyhatjuk, és felírhatjuk: 158 748 − 99 575 = 59 173.
A kivonás szemléltetése
A kivonást is, akárcsak az összeadást, ábrázolhatjuk a számegyenesen. Csak a szakasz felmérésekor változtatjuk meg az irányát. A szakaszt nem az aktuális ponttól jobbra, hanem balra mérjük fel. Ha tehát a 2 − 5 különbséget akarjuk kiszámolni, így járunk el. Először felmérjük a számegyenesre a kettest pozitív irányban, mert a kettes pozitív. Az ötöst kivonjuk, azt fordított irányban mérjük fel.
Most berajzoljuk a második szakaszt, amely a mínusz ötöt jelképezi. Ott kezdjük, ahol az előbb véget értünk, vagyis a kettesnél. A szakaszt azonban visszafelé, balra rajzoljuk.
