Egyenes

Az egyenes a második legegyszerűbb geometriai alakzat, és egydimenziós (mintha csak hossza lenne). Az egyenes leegyszerűsítve egy végtelen hosszú egyenes vonal, amelynek sem vége, sem eleje nincs.

Alapvető tulajdonságok

Az egyenest általában kis nyomtatott betűvel jelöljük, például a. Az egyenest többnyire két ponttal adjuk meg, mivel bármely két ponton át pontosan egy egyenes húzható. Létezik még a félegyenes is, amely hasonló az egyeneshez, azzal a különbséggel, hogy van kezdőpontja (de vége még mindig nincs). Például a szögek szárai félegyenesekből állnak.

Az egyenes felírása a síkban

Ha a síkban vagyunk, az egyenest felírhatjuk lineáris függvénnyel, amelynek grafikonja mindig egyenes. Sajnos ez a módszer a térben cserben hagy, mert lineáris függvénnyel nem tudjuk megadni a harmadik dimenziót. A síkban viszont a lineáris függvénnyel való felírás a legegyszerűbb módja annak, hogy bármilyen egyenest leírjunk, amely nem párhuzamos az y tengellyel. Ha adott a függvény, abból biztosan könnyen megrajzolod az egyenest, de fordítva ez már gondot okozhat. Tekintsük tehát a következő megrajzolt egyenest:

A lineáris függvény hozzárendelési szabálya így néz ki: y = mx + b. Először a b-t, a konstans tagot határozzuk meg. A legegyszerűbben úgy találjuk meg, ha a grafikonról leolvassuk, hol metszi az egyenes az y tengelyt, vagyis ha x értéke nulla. Látjuk, hogy ez kettő, ezért b = 2. Ez azért van így, mert ha mx nulla, akkor az y = mx + b összefüggésben csak úgy kaphatunk y helyére kettőt, ha a konstans tag kettővel egyenlő.

Most azt kell kitalálnunk, mivel egyenlő m. Most kényelmesebb lesz, ha egy pillanatra elhagyjuk a konstans tagot, és feltesszük, hogy nulla. Az egyenes ekkor eltolódik a koordináta-rendszer origójába, és könnyebben meghatározhatjuk m-et:

Jól látjuk, hogy az x = 6 helyen y értéke 2. Ezt az információt behelyettesítjük a függvény hozzárendelési szabályába: 6m + 0 = 2. Ebből könnyen kiszámítjuk, hogy $m=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Most már megvan m értéke, és fel tudjuk írni a függvény, vagyis az egyenes teljes egyenletét: y=1/3x+2.

$$y=\frac{x}{3}+2$$

Egyenesek kölcsönös helyzete

A síkban két egyenesnek többféle kölcsönös helyzete lehet. Kezdjük tehát a síkbeli kölcsönös helyzetekkel.

Ha két egyenes fedi egymást, és egyetlen egyenessé olvad össze – minden pontjukban metszik egymást –, akkor az egyeneseket egybeesőnek nevezzük. Ha az egyenesek egyetlen pontban metszik egymást, akkor az egyeneseket metszőnek nevezzük. Ha az egyenesek egyetlen pontban sem metszik egymást, akkor az egyeneseket párhuzamosnak nevezzük. A párhuzamos egyeneseket általában mindkét egyenesen két ilyen rövid vonallal jelöljük, lásd az utolsó ábrát. Az alábbi ábrák áttekinthetően összefoglalják mindezt:

Hogyan állapítható meg az egyenesek kölcsönös helyzete, azt egy külön cikkben találod a koordinátageometria részben. Ugyanebben a kategóriában megtalálod az egyenes általános egyenletének, az egyenes paraméteres egyenletének és az egyenes meredekség-tengelymetszetes alakjának meghatározását is.