Háromszög szerkesztése

A háromszög olyan sokszög, amelynek pontosan három oldala van. Ezeket az oldalakat kisbetűkkel jelöljük, szokásosan a, b, c. A háromszögnek három csúcsa is van, ezeket nagybetűkkel jelöljük, szokásosan A, B, C. Az a oldal ekkor a BC szakasznak, a b oldal az AC szakasznak, a c oldal pedig az AB szakasznak felel meg. Az a oldal mindig az A csúccsal szemben van, a többi oldal hasonlóan.

Ismerjük mindhárom oldalt

Ha ismerjük mindhárom oldal hosszát, a háromszög megszerkesztése egészen könnyű. Kiválasztjuk az egyik oldalt, például az AB-t, és megrajzoljuk közönséges szakaszként. Ezután meg kell találnunk a harmadik pont helyét. Ez egyszerű: fogjuk a körzőt, beleszúrjuk a B pontba, és egy kört rajzolunk a BC oldal hosszával mint sugárral, mondjuk öt centiméterrel. Ezzel megkapjuk, hol lehet mindenütt a C pont, hogy pontosan öt centiméterre legyen a B ponttól. Ugyanezt megismételjük az AC oldallal és az A ponttal. Most két körünk van, és a metszéspontjuk adja azt a pontot, amely az A csúcstól is, a B ponttól is a megadott számú centiméterre van.

Adott két oldal és a magasság

A háromszög minden oldalához tartozik magasság, amelyet a szemközti csúcsból a kijelölt oldalra húzott merőlegesként határozunk meg. Ha a merőleges nem metszené közvetlenül az oldalt, az oldalt meg kell hosszabbítanunk addig, ahol a merőlegessel találkozik. A magasság alapvető tulajdonsága tehát az, hogy merőleges arra az oldalra, amelyhez tartozik. Ezt gyakran kihasználjuk számítási feladatoknál, mert alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt. A c oldalhoz tartozó magasságot általában kis m betűvel jelöljük, alsó indexben annak az oldalnak a jelével, amelyhez a magasság tartozik. A mi esetünkben tehát m_c. A merőleges talppontját (az oldal és a merőleges metszéspontját) hasonlóan jelöljük, csak a kis m helyett nagy T-t írunk: T_c.

A magasságot a C csúcsból húztuk. A másik pont a szemközti AB oldalon (vagyis a c oldalon) van, és a CT_c szakasz merőleges a c oldalra. A T_c pontot a magasság talppontjának nevezzük; a c oldalt alapnak hívjuk. A talppontot általában T betűvel és alsó indexben azzal a csúccsal jelöljük, amelyből a magasság indul. Ebben az esetben ez a C csúcs.

A magasságot elég könnyű megszerkeszteni: fogod a vonalzót, és a c oldalra merőlegest húzol úgy, hogy az éppen a C csúcson menjen át. Ez minden.

Magasságot a háromszög mindegyik csúcsából húzhatunk. Az összes magasság egy pontban metszi egymást, ezt a pontot magasságpontnak nevezzük. A magasságpont lehet a háromszög belsejében, de nem kell, hogy ott legyen. Hegyesszögű háromszögben a magasságpont a háromszög belsejében van.

Adott két oldal és a súlyvonal

A magasságon kívül minden háromszögnek három súlyvonala is van. A súlyvonal olyan szakasz, amely egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köt össze. Mindhárom súlyvonal egyetlen pontban metszi egymást, ezt súlypontnak nevezzük. A súlypont a súlyvonalakat mindig 2:1 arányban osztja – a súlyvonal csúcs felőli része kétszer akkora, mint az oldal felőli másik része. A súlyvonalakat kis s betűvel és alsó indexben azzal az oldallal jelöljük, amelyhez tartoznak. A súlypontot pedig általában egyetlen nagy S betűvel jelöljük.

Ha ismered a háromszög két oldalát és a két oldal valamelyikéhez tartozó súlyvonalat, a háromszöget nagyon könnyen megszerkesztheted. Ismét az AB oldal megrajzolásával kezdesz, majd megállapítod, hol van a C pont: megrajzolsz két kört, az elsőt a B pont körül (vagy az A körül, ha az AC hosszát ismered), a másodikat az AB oldal felezőpontja körül. A pont, ahol a körök metszik egymást, a keresett C pont. Szerintem további szemléltetésre már nincs szükség, az eljárás ugyanaz, mint az első esetben, csak az ABC háromszög helyett először az F_cBC háromszöget szerkeszted meg, amelyből megkapod a keresett C csúcsot.

Adott két oldal és egy másik súlyvonal

Először nézd meg a vázlatot, hogyan kell kinéznie:

A pirossal jelölt adatokat ismerjük, és ezek alapján kell megszerkeszteni az egész háromszöget. Az eljárás a következő: kiegészítjük a háromszöget négyszöggé, és a négyszög alapján megszerkesztjük a többit. Ezt jól mutatja a következő ábra (emlékeztetek rá, hogy a BD hossza az s_b hosszának kétszerese).

Ezt a négyszöget egyszerűen megszerkesztjük. Először megszerkesztjük az ABD háromszöget. Az AB oldal hosszát ismerjük, a BD oldal hossza 2s_b, az AD pedig ugyanolyan hosszú, mint a BC. A C pontot vagy úgy találjuk meg, hogy megkeressük az F_b pontot, a BD szakasz felezőpontját, majd megrajzoljuk az AF_b félegyenest, és az AC hossza 2AF_b. A második lehetőség, hogy az AB oldallal párhuzamos egyenest rajzolunk, és a C pont ezen az egyenesen lesz, a D ponttól |AB| távolságra.