Szög

Ha van egy szöged, és ezt a szöget máshol is le akarod másolni, használhatod a szög átmásolásának módszerét.

Mi az a szög

A szög definíciója nem teljesen egyszerű dolog, és többféle változata létezik. A mi céljainkra azonban elég lehet ez a változat: a szög a sík két közös kezdőpontú félegyenes által határolt része. Ebben a definícióban fontos, hogy a szög nem csupán az a két szár, hanem az egész terület, az a síkrész, amelyet a két szár közrefog. Lásd a következő ábrát:

Az előző ábra azonban nem volt teljesen pontos, mert nem határoztuk meg, melyik szögre gondolunk. Első pillantásra az ABC szög alatt elképzelhettük volna az említett területet, de ugyanígy elképzelhettük volna a sík másik részét is:

Ezért a szögek felírásakor meg kell különböztetnünk, hogy konvex szögre (amely kisebb, mint 180°), vagy nem konvex szögre (amely nagyobb, mint 180°) gondolunk. A nem konvex szöget konkáv szögnek is nevezhetjük. Ezt például irányított szög segítségével lehet felírni.

A szögnek lehet pozitív vagy negatív iránya. Pozitív irányban az óramutató járásával ellentétesen haladunk, negatív irányban az óramutató járásával megegyezően. Így az ABC szög felírásakor először a BA félegyenest említjük, másodikként a BC félegyenest. Pozitív irányban a BA félegyenesre nézünk, és onnan haladunk tovább az óramutató járásával ellentétesen. A fenti példánkban ilyenkor az első ábra jönne ki, a konvex szög. Ha negatív irányt választanánk, nem konvex szöget kapnánk, vagyis a második ábrát. Általában a pozitív irányt használjuk, ebben a cikkben is a szögeket pozitív értelemben írjuk fel.

A szög tehát két szárból áll, amelyek a szöget határolják, a szög csúcsából, amelyből ezek a félegyenesek kiindulnak, és abból a területből, amelyet a szög szárai kijelölnek. Ha adott az ABC szög, akkor a szög szárai BA és BC, a csúcsa pedig B.

A szög nagysága

Ahogy a szakasz hosszát meg tudjuk mérni, a szög nagyságát is megmérhetjük. Ezt vagy a megszokott fokmértékben mérjük, amelyet biztosan ismersz, vagy ívmértékben. A fokmérték egyszerű: a 90° a derékszög (például a négyzet belső szögei egyenként 90°-osak), a 180° az egyenesszög (ezt zárják be például az ellentétes félegyenesek), a 360° pedig a teljes szög (ezt zárják be az egymásra fekvő félegyenesek – az ilyen szöget az egész körülvevő sík alkotja). A fokot tovább osztjuk percekre (jele ′) és másodpercekre (jele ″). Egy fok 60 perc, egy perc pedig hatvan másodperc. 1° = 60′ és 1′ = 60″.

Az egyes szögek ábrái:

Az ívmérték elképzelése már egy kicsit nehezebb, mert ott radiánokkal számolunk, amelyek dimenzió nélküliek. A radián nagyságát és további tulajdonságait azonban már leírtam a szögfüggvényeknél, ezért nem ismételném meg.

A szögeket nagyságuk szerint tovább oszthatjuk hegyesszögre, amely kisebb, mint 90°, és tompaszögre, amely 90° és 180° között van. Ezek a konvex szög egyfajta részhalmazát alkotják, amelyet fentebb mutattam. A nem konvex szög nagyobb, mint 180°, és ezt már nem osztjuk tovább.

Szögpárok

Néhány különleges szögpárnak különféle tulajdonságai vannak, amelyeket jó tudni.

• A csúcsszögek olyan szögek, amelyeknek közös a csúcsuk, és száraik ellentétes félegyeneseket alkotnak. A csúcsszögek mindig egyenlők, vagyis ugyanakkorák.

• A mellékszögek olyan szögek, amelyeknek egy száruk közös, a másik száraik pedig ellentétes félegyenesek. A mellékszögek összege mindig 180°, vagyis egyenesszög.

• Az egyállású szögek olyan szögek, amelyeknek az első szárai párhuzamosak, a második szárai pedig egy egyenesen fekszenek. Annak is teljesülnie kell, hogy a szögek irányítása megegyezik. Az egyállású szögek egyenlők.

Léteznek további szögtípusok is, de ezek már csak olyan helyzetek, amelyek a fent leírt három elhelyezkedésből levezethetők.

Műveletek szögekkel

A szögekkel bizonyos alapvető műveleteket végezhetünk. A legalapvetőbb az összeadás. Számolás szempontjából itt szinte semmit nem lehet elrontani, egyszerűen összeadod a szögek nagyságát. Ha a szög nagyobb, mint 360°, általában egyszerűbb alakra hozzuk, valahol a 0° − 360° intervallumban. Egyszerűen úgy, mintha háromszázhatvanas számrendszerben dolgoznál. Hasonlóképpen, ha a példában percek vagy másodpercek szerepelnek, hatvanas számrendszerben kell számolnod (mint a hagyományos óránál).

Lássunk hát a biztonság kedvéért egy mintapéldát. Add össze ezeket a szögeket: α = 183° 51′ és β = 222° 24′. Először kiszámoljuk a perceket: 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (az eljárás egyszerű, a 75-öt elosztod hatvannal. Az eredmény a fokok számát adja, a maradék pedig a megmaradó percek számát). Most kiszámoljuk a fokokat: 183° + 222° = 405°. Ehhez a részeredményhez hozzáadjuk az előző eredményt: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Most ezt a szöget addig csökkentjük 360-nal, amíg 0 és 360 közé nem esik. Azért csökkentjük, mert ha a papíron megtettünk 360°-ot, újra a kezdetnél vagyunk, a 361°-os szög a papíron ugyanakkora lesz, mint az 1°-os szög. Eljutunk ehhez a számításhoz: 406° 15′ = 46° 15′.

• Wikipédia