Racionális számok

A racionális számok mindazok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, azaz tört alakban.

Definíció

A racionális számok tehát mindazok a számok, amelyek felírhatók

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0$$

alakban.

Annak a feltételnek, hogy mindkét szám egész, nyilvánvaló oka van. Ha ugyanis olyan számot választanál, amely nem racionális, például a π-t, és így állítanál össze törtet:

$$\frac{\pi }{1},$$

visszakapnád a π számot, amely nem racionális. Ezért a számlálónak és a nevezőnek is egész számnak kell lennie. És mivel nullával nem oszthatunk, a nevező nem lehet nulla.

Azt is mondhatjuk, hogy a racionális számok a véges tizedes tört alakú számok, valamint a végtelen tizedes tört alakú számok, amelyekben valamelyik rész periodikusan ismétlődik. Példák racionális számokra először tört alakban:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

majd tizedes tört alakban: 0,1; −5; 14,5; −12,93; $\mathrm{0,333}33\dots =0,\dot{3}$

Szakaszos tizedes tört alak

Az előző példában szerepelt a 0,3333… szám. Ez az 1/3 tört tizedes alakja, és végtelen tizedes kifejtésű szám. Mégis racionális, mert a kifejtés szakaszos (periodikus). Szakaszos kifejtés azt jelenti, hogy a szám egy bizonyos részétől kezdve ugyanaz a számjegysorozat ismétlődik újra és újra. A mi esetünkben a hármas ismétlődött a végtelenségig. Ismétlődhet azonban például a 12345 számjegysorozat is, az is szakaszos, racionális szám lesz.

Tehát minden véges tizedes kifejtésű szám racionális. Minden végtelen tizedes kifejtésű szám is racionális, amelyben valamely rész periodikusan ismétlődik. Az a végtelen tizedes kifejtésű szám, amelyben semmilyen rész nem ismétlődik periodikusan, irracionális szám.

A szakaszt vagy három ponttal, vagy – gyakrabban – az ismétlődő számjegyek fölé tett ponttal jelöljük: egy számjegynél a számjegy fölé, több számjegynél a szakasz első és utolsó számjegye fölé. Ismétlődhet egyetlen számjegy, de akár több is. A szakasz kezdődhet rögtön a tizedes rész elején, vagy bármikor később. Ezek mind szakaszos tizedes törtek:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\dot{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\dot{4}\dot{5}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\dot{3}\end{array}$$

Jelölés és jelentés

A racionális számokat a Q betűvel jelöljük, amelynek kettős íve van: ℚ. Az angol „quotient” szóból ered, magyarul „hányados”, ami az osztás eredményét jelenti.

A racionális számokat az egész egy részének megadására használjuk. Tipikusan például a „fele” vagy a „tizede”. Ezek az egész egy-egy részének elnevezései, amelyeket a racionális számokkal hányadosként fejezhetünk ki: 1/2 és 1/10. Ezekben az esetekben a nevező az egészet jelöli, a számláló pedig az egész egy részét. Ha a számláló egyenlő a nevezővel, az azt jelenti, hogy a teljes egészről van szó. Az ilyen arányokat általában százalékokká váltjuk át.

Tulajdonságok

1. A racionális számok végtelen megszámlálható halmazt alkotnak.

• A racionális számok zártak az összeadásra, a kivonásra, a szorzásra és az osztásra. Ez azt jelenti, hogy ha két racionális számot elosztunk egymással, megint racionális számot kapunk. Ebben különböznek az egész számoktól, amelyek nem voltak zártak az osztásra.
• A racionális számok tartalmazzák az összes egész számot. Ha minden racionális szám kifejezhető a/b törttel, akkor elég, ha b = 1, és az a/1 = a osztás után mindig visszakapjuk a számláló értékét.
• Ha veszünk két racionális számot, a-t és b-t, amelyekre a < b, mindig találunk egy további q racionális számot, amelyre igaz: a < q < b. Másképp mondva, bármely két racionális szám között mindig találhatunk újabb racionális számot. Igaz az erősebb változat is: bármely két racionális szám között végtelen sok további racionális szám van.
• Az előző tétel következménye, hogy nincs legkisebb pozitív (vagy legnagyobb negatív) racionális szám. Ehhez használhatunk indirekt bizonyítást. Legyen m a legkisebb pozitív racionális szám. Ekkor nem találhatunk nála kisebb pozitív racionális számot. Az előző tétel szerint azonban 0 < m, és így létezik olyan s racionális szám, amelyre 0 < s < m. Találtunk egy s számot, amely nagyobb nullánál (pozitív), és kisebb, mint az m szám. Ez ellentmond annak, hogy m a legkisebb pozitív racionális szám.

Műveletek racionális számokkal

Az összes szokásos alapműveletet a törtek cikke ismerteti.

Szakaszos tizedes tört átváltása törtté

Mivel a szakaszos tizedes tört egyben racionális szám is, át kell tudni váltani törtté. Megmutatjuk, hogyan. Kezdetben legyen a szakaszos számunk a = 0,333… Felírjuk:

$$a=0,\dot{3}$$

Most szokásos ekvivalens átalakításokat végzünk az egyenleteken, és az egész egyenletet megszorozzuk tízzel:

$$10a=3,\dot{3}$$

A jobb oldalon a hármas áthelyeződött az egyesek helyére, a tizedesvessző mögött pedig továbbra is végtelen sok hármas maradt. Most az egyenletből kivonjuk az a-t, vagyis a 0,333… számot, amivel megszabadulunk a végtelen kifejtéstől.

$$9a=3$$

Ez a lépés talán kicsit bonyolult volt, ezért kiírom. Ezt a műveletet végeztük el:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

A felső egyenletet, vagyis a 9a = 3 egyenletet, csak elosztjuk kilenccel, és megkapjuk az eredményt:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Próbáljunk ki még egy példát:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\dot{4}\dot{5}$$

Az eljárás kissé eltér. Az előző példában egyjegyű volt a szakasz. Pontosabban a szakasz tetszőleges hosszúságú lehetett, mert ugyanazok a számjegyek ismétlődtek, de nekünk az egyjegyű volt kényelmes. Most kétjegyű a szakaszunk. Itt is vehetnénk hatjegyű szakaszt, de az nem kényelmes. Hogy valóban a teljes szakaszt vonjuk ki, ezúttal százzal kell szoroznunk:

$$100a=145,\dot{4}\dot{5}$$

Kivonunk egy a-t:

$$99a=144$$

És elosztjuk 99-cel:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Ha számológépen elosztod egymással ezeket a számokat, éppen 1,454545… jön ki. A legtöbb számológép azonban kerekít, ezért kicsit más eredményt is mutathat.

Érdekesség a 0,9999… számmal

Még érdekességként váltsuk át törtté a szakaszos

$$a=0,\dot{9}$$

számot. Megszorozzuk tízzel:

$$10a=9,\dot{9}$$

Kivonjuk az a-t:

$$9a=9$$

Elosztjuk kilenccel:

$$a=1$$

Látjuk, hogy egyet kaptunk, tehát a 0,999… szám egyenlő az 1 számmal.

Hivatkozások

• Wikipédia