Barisan bilangan

Barisan adalah fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli. Barisan dapat berupa barisan tak hingga, jika daerah asalnya adalah seluruh himpunan bilangan asli, atau barisan berhingga, jika daerah asalnya hanya himpunan bagian berhingga dari himpunan bilangan asli. Jika tidak disebutkan secara tegas bahwa barisannya berhingga, yang dimaksud adalah barisan tak hingga.

Definisi barisan

Bagian ini sedikit menjelaskan makna definisi barisan. Kamu tidak wajib memahaminya, jadi boleh saja melewati seluruh bagian ini.

Dari pendahuluan sudah terlihat bahwa barisan adalah fungsi yang daerah asalnya adalah bilangan asli. Daerah hasilnya boleh berupa himpunan apa saja, tetapi di sini kita anggap himpunan bilangan real. Apa artinya? Perbedaan yang paling terlihat ada pada grafiknya. Grafik barisan bukan garis yang tidak terputus seperti grafik fungsi pada umumnya, melainkan hanya titik-titik terpisah yang tersebar.

Contoh barisan adalah deretan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Barisan ini cukup jelas dan setiap orang tentu tahu bagaimana kelanjutannya. Karena barisan adalah fungsi, tabel pemetaannya tampak seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Bilangan pada kolom pertama (nilai dari daerah asal) menyatakan urutan suatu bilangan dalam barisan. Misalnya, dalam barisan sederhana kita, bilangan 5 berada di urutan ketiga. Itulah yang ditunjukkan tabel. Di urutan keempat ada bilangan 7, di urutan pertama bilangan 1, dan seterusnya. Dari sini juga terlihat bahwa daerah asal barisan berhingga p harus berupa himpunan berbentuk

$$D_p=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

agar benar-benar menyatakan urutan dan tidak ada urutan yang terlewat. Misalnya, himpunan

$$D_p=\{1,2,3,5,7\}$$

tidak cocok menjadi daerah asal barisan karena tidak memuat anggota keempat dan keenam.

Jadi, ciri barisan adalah bahwa anggota-anggotanya dapat diurutkan sehingga setiap suku, kecuali suku pertama dan terakhir, mempunyai pendahulu dan penerus. Inilah perbedaan besar dengan fungsi real, yang tidak mempunyai sifat seperti itu. Ambil fungsi f(x) = 2x. Nilai apa yang muncul sesudah f(5/2)? Kita tidak tahu. Hasilnya bilangan real, dan bilangan real tidak mempunyai penerus.

Penulisan barisan

Kita sudah tahu bahwa, secara sederhana, barisan adalah deretan bilangan yang diberi nomor urut. Sekarang mari kita lihat cara menuliskannya. Barisan biasanya dinamai dengan huruf berindeks bawah, misalnya U_i.

Cara pertama adalah menyebutkan semua suku barisan. Cara ini sudah kita temui pada bagian sebelumnya. Daftarnya bisa berhingga, bisa juga tak hingga:

$$\begin{array}{rcl}{U}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ U_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Catatan: saya tidak yakin tanda kurung apa yang lazim dipakai untuk barisan karena saya tidak menemukan konvensi yang seragam. Sebaiknya jangan memakai kurung kurawal, karena kurung kurawal menandai himpunan, yang tidak memperhatikan urutan, sedangkan pada barisan urutan suku-sukunya penting.

Cara kedua adalah rumus suku ke-n. Misalnya, barisan U_n di atas memuat semua bilangan genap. Rumusnya dapat ditulis sebagai berikut:

$$U_n=2n.$$

Indeks bawah n menyatakan suku keberapa yang sedang kita hitung. Jika kita ingin mengetahui suku pertama, yang dicari adalah U₁, dan jika suku ketujuh, yang dicari adalah U₇. Suku ketujuh diperoleh dengan menyubstitusikan 7 ke dalam rumus.

$$U_7=2\cdot 7=14$$

Cara penulisan ini praktis karena suku mana pun dapat langsung dihitung. Cara lainnya adalah rumus rekursif. Dengan rumus rekursif, kita dapat menghitung suku berikutnya jika suku sekarang diketahui. Dengan kata lain, jika suku U_n diketahui, kita dapat menghitung suku U_{n + 1}.

Untuk menyatakan barisan secara rekursif, kita perlu dua informasi: suku pertamanya dan aturan untuk menghitung suku ke-(n + 1). Barisan bilangan asli genap dapat dinyatakan secara rekursif seperti ini:

$$U_1=2;U_{n+1}=U_n+2$$

Bagaimana cara menghitungnya? Kita tahu bahwa U₁ sama dengan 2. Sekarang untuk n kita substitusikan 1, sehingga U₂ diperoleh dengan menambahkan 2 pada U₁. Hasilnya 4, yaitu bilangan genap kedua. Begitu seterusnya.

$$\begin{array}{rcl}{U}_1& =& 2\\ U_2& =& U_1+2(=4)\\ U_3& =& U_2+2(=6)\\ U_4& =& U_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Rumus rekursif cocok dipakai jika kita perlu membangkitkan banyak suku barisan berturut-turut. Sebaliknya, rumus ini tidak cocok untuk menghitung satu suku tertentu. Untuk menghitung bilangan genap ke-100, misalnya, kita harus lebih dulu menghitung 99 bilangan genap sebelumnya.

Cara terakhir adalah menyatakan barisan dengan grafik.

Satu hal lagi untuk memperjelas: barisan tidak harus mempunyai rumus yang sederhana dan tidak harus berupa deretan bilangan yang “masuk akal”. Deretan bilangan berikut pun merupakan barisan, walaupun sekilas tidak tampak memiliki makna tertentu:

$$U_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{}^3\log 54,0)$$

Grafik barisan

Grafik barisan berbeda dengan grafik fungsi real pada umumnya. Karena daerah asalnya adalah bilangan asli, grafiknya terdiri atas titik-titik yang terpisah.

Barisan aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan sederhana yang selisih dua suku berurutannya selalu tetap. Misalnya, setiap suku berikutnya lebih besar 3 atau lebih kecil 17. Selisih antara suku-suku yang berurutan disebut beda (dilambangkan b). Pada contoh pertama bedanya 3, pada contoh kedua minus 17, dan pada barisan bilangan genap bedanya 2. Jadi, barisan aritmetika dapat ditulis dengan rumus berikut:

$$U_{n+1}=U_n+b$$

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah

$$U_n=U_1+(n-1)b.$$

Sebagai contoh, kita ambil lagi bilangan genap. Bedanya 2 dan bilangan genap pertama juga 2. Bilangan genap kedua diperoleh dengan menambahkan 2 pada bilangan genap pertama. Jika ditambah 2 sekali lagi, diperoleh bilangan genap ketiga.

$$\begin{array}{rcl}{U}_1& =& 2\\ U_2& =& U_1+2(=4)\\ U_3& =& U_2+2(=6)\\ U_4& =& U_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Untuk menghitung, misalnya, bilangan genap ketujuh, kita substitusikan nilainya ke rumus umum:

$$U_n=U_1+(n-1)b\to U_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Bagaimana cara mengetahui apakah suatu barisan merupakan barisan aritmetika? Kurangkan rumus suku ke-n dari rumus suku ke-(n + 1). Jika hasilnya berupa beda yang tetap, barisan tersebut adalah barisan aritmetika. Misalnya, diberikan barisan

$$U_n=2n+7.$$

Apakah barisan ini barisan aritmetika? Pertama, kita tuliskan suku ke-(n + 1):

$$U_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Sekarang kita kurangkan kedua bentuk tersebut:

$$\begin{array}{rcl}b& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ b& =& 2n+2+7-2n-7\\ b& =& 2n-2n+7-7+2\\ b& =& 2\end{array}$$

Setelah pengurangan, diperoleh b = 2. Jadi, barisan ini adalah barisan aritmetika dengan beda 2.

Jumlah suku-suku barisan aritmetika

Kita sering perlu menghitung jumlah beberapa suku pertama barisan aritmetika. Bagaimana caranya? Secara intuitif, kira-kira seperti ini. Kita tetap memakai bilangan genap. Berapa jumlah tiga bilangan genap pertama, yaitu 2, 4, dan 6? Tentu saja kita bisa menjumlahkannya satu per satu, tetapi kita menginginkan rumus.

Kita ubah barisannya sebagai berikut: suku pertama ditambah 2, dan suku terakhir dikurangi 2. Hasilnya 4, 4, 4. Ada tiga bilangan yang sama, sehingga cukup mengalikan 4 dengan banyak suku, yaitu 3. Hasilnya 4 · 3 = 12.

Untuk lima suku, yaitu 2, 4, 6, 8, 10, caranya seperti ini. Suku pertama ditambah 4 dan suku terakhir dikurangi 4, suku kedua ditambah 2 dan suku keempat dikurangi 2.

$$\begin{array}{rcl}{U}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ U_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Sekali lagi, cukup kita kalikan 6 · 5 = 30. Apa yang terlihat? Kita selalu mengalikan banyak suku dengan suku tengah barisan. Pada barisan 2, 4, 6, suku tengahnya 4, dan pada barisan 2, 4, 6, 8, 10, suku tengahnya 6. Bagaimana menghitung suku tengah (kita lambangkan U_t) secara umum? Suku tengah adalah rata-rata suku pertama dan suku terakhir, yaitu

$$U_t=\frac{U_1+U_n}{2}$$

Misalnya, untuk barisan kedua diperoleh

$$U_t=\frac{2+10}{2}=6.$$

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan U_n adalah sebagai berikut:

$$S_n=n\cdot \frac{U_1+U_n}{2}$$

Rumus ini juga berlaku untuk banyak suku yang genap, walaupun dalam penurunannya kita hanya memakai banyak suku yang ganjil.

Cara menghitung beda

Bagaimana menghitung beda jika dua suku barisan diketahui? Kita tetap memakai bilangan genap. Misalkan dua suku barisan berikut diketahui:

$$U_3=6,U_7=14.$$

Bagaimana cara menghitung bedanya? Pertama, kita hitung selisih kedua suku tersebut:

$$U_7-U_3=14-6=8$$

Sekarang hasil tersebut cukup dibagi dengan banyak langkah di antara kedua suku yang diketahui, yaitu selisih indeksnya:

$$\frac{U_7-U_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Bedanya adalah 2. Rumus umum untuk menghitung beda b jika suku U_k dan U_l diketahui adalah

$$b=\frac{U_l-U_k}{l-k}$$

Grafik barisan aritmetika naik atau turun secara tetap: titik-titik pada grafiknya terletak pada satu garis lurus.

Barisan geometri

Barisan geometri berbeda dengan barisan aritmetika karena yang tetap bukan selisih dua suku berurutan, melainkan perbandingannya. Perbandingan ini tidak disebut beda seperti pada barisan aritmetika, tetapi rasio (dilambangkan r). Misalnya, ada barisan dengan r = 10 dan suku pertama 5:

$$\begin{array}{rcl}{U}_1& =& 5\\ U_2& =& U_1\cdot 10(=50)\\ U_3& =& U_2\cdot 10(=500)\\ U_4& =& U_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Secara umum, berlaku rumus

$$U_{n+1}=U_n\cdot r$$

Rumus suku umum barisan geometri adalah

$$U_n=U_1\cdot r^{n-1}$$

Misalnya, suku ketiga barisan di atas dihitung seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}{U}_3& =& U_1\cdot r^{3-1}\\ U_3& =& 5\cdot r^2\\ U_3& =& 5\cdot {10}^2\\ U_3& =& 500\end{array}$$

Barisan geometri dapat dibagi lagi menjadi dua kelompok menurut rasionya. Jika nilai mutlak rasionya kurang dari 1, suku-suku barisan makin mendekati nol. Barisan seperti ini disebut barisan konvergen. Sebaliknya, jika nilai mutlak rasionya paling sedikit 1, barisan tidak mendekati nol dan disebut barisan divergen. Untuk barisan konvergen, jumlah semua sukunya (deret geometri tak hingga) dapat dihitung dengan rumus sederhana berikut. Rumus ini hanya berlaku untuk barisan konvergen, karena barisan divergen tidak mempunyai jumlah yang berhingga:

$$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{U_1}{1-r}.$$

Rumus jumlah n suku pertama barisan geometri U_n adalah

$$S_n=U_1\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$

Penurunan rumus ini dapat kamu baca di Wikipedia.

Kecuali jika rasionya sama dengan 1 atau 0, grafik barisan geometri berupa himpunan titik-titik terpisah yang tidak terletak pada satu garis lurus. Grafik barisan geometri yang khas tampak seperti ini:

Jika rasionya negatif, grafiknya mempunyai dua cabang: