Bentuk akar

Akar adalah fungsi invers dari perpangkatan, meskipun hanya sebagian. Yang paling sering dipakai adalah akar kuadrat. Akar kuadrat mencari bilangan yang, jika dikalikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan bilangan semula yang ditarik akarnya.

Akar kuadrat

Untuk akar digunakan lambang $\sqrt{}$. Agar argumen akar tidak perlu ditulis di dalam kurung seperti ini: $\sqrt{}$(25), di atas seluruh argumen (bentuk yang ingin ditarik akarnya) dibuat garis mendatar, seperti ini: $\sqrt{25}$.

Mula-mula kita hanya membahas akar kuadrat dari bilangan real. Akar kuadrat dapat didefinisikan seperti ini:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Jika akar dari a dikalikan dengan akar dari a, hasilnya adalah a. Jadi, akar dari 9 adalah 3, karena 3 · 3 = 9.

Bentuk tadi dapat juga ditulis seperti ini:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Ini hanya cara lain menuliskan perkalian tadi, yaitu dengan perpangkatan.

Yang penting, persamaan ini hanya berlaku untuk a yang termasuk daerah asal fungsi akar. Akar kuadrat dari bilangan negatif tidak dapat dihitung. Kita dapat menarik akar dari bilangan positif apa pun, juga dari nol, tetapi tidak dari bilangan negatif. Mengapa demikian?

Misalkan kita ingin menghitung akar dari −25. Pada dasarnya ada dua pilihan bilangan: positif atau negatif. Jika kita memilih bilangan positif, diperoleh 5 · 5 = 25. Hasilnya memang 25, tetapi kita menginginkan −25. Jadi, kita coba memilih −5, tetapi setelah dikalikan hasilnya lagi-lagi 25. Singkatnya, hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif, begitu pula hasil kali dua bilangan positif. Untuk memperoleh −25, kamu harus mengalikan −5 · 5, dan itu tidak boleh, karena kedua bilangan itu berbeda, walaupun hanya berbeda tanda. Karena itu, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak dapat dihitung.

Akar pangkat n

Seperti halnya suatu bentuk dapat dipangkatkan dua, tiga, atau empat, kita juga dapat mempunyai akar pangkat tiga, akar pangkat empat, dan akhirnya akar pangkat n dari bilangan real. Indeks akar biasanya ditulis di atas tanda akar, seperti ini:

$$\sqrt[5]{32}$$

Bentuk ini menyatakan akar pangkat lima dari tiga puluh dua. Akar pangkat n kita definisikan dengan pangkat n seperti ini:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

Jika n diganti dengan dua, kita memperoleh akar kuadrat seperti yang baru saja kita definisikan. Secara singkat, definisinya dapat juga ditulis seperti ini:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Menurut kesepakatan, untuk akar kuadrat angka dua tidak perlu ditulis. Jadi, kedua penulisan berikut ekuivalen:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Misalnya, untuk akar pangkat empat berlaku:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Berikut contoh konkretnya:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Sebaliknya, berlaku 4 · 4 · 4 = 64.

Akar dari bilangan negatif

Kita sudah tahu bahwa akar kuadrat dari bilangan negatif tidak ada, karena a² dengan a bilangan real tidak pernah negatif. Namun, pada akar pangkat yang lebih tinggi kita tidak hanya mengalikan dua kali, sehingga ada kasus ketika akar pangkat n dari bilangan negatif ada. Bagaimana sebenarnya?

Masalahnya tadi adalah hasil kali dua bilangan negatif selalu positif. Untuk memperoleh −25, kita memerlukan hasil kali −5 · 5. Namun, apa yang terjadi jika kita mengalikan tiga bilangan negatif? Setelah dua bilangan negatif pertama dikalikan, diperoleh bilangan positif. Namun, setelah dikalikan dengan bilangan negatif terakhir, kita kembali memperoleh bilangan negatif. Jika dikalikan sekali lagi (empat kali seluruhnya), hasilnya kembali positif.

Kesimpulannya, jika suatu bilangan negatif dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali, hasil kalinya positif jika n genap dan negatif jika ganjil. Dari sini kita simpulkan bahwa akar pangkat n dari bilangan negatif ada jika n ganjil. Contoh:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Mengubah akar menjadi bilangan berpangkat

Bentuk akar mudah diubah menjadi bilangan berpangkat, dan hal ini sering dilakukan karena bilangan berpangkat lebih mudah diolah. Berlaku hubungan berikut:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Akar pangkat n dari a sama dengan a dipangkatkan 1/n. Hal ini juga berguna jika kamu perlu memasukkan akar dengan pangkat lebih tinggi daripada dua ke suatu program. Sering kali hal itu tidak bisa dilakukan secara langsung, tetapi pangkatnya boleh berupa pecahan. Jika kamu ingin menggambar grafik akar pangkat empat, gambarlah grafik fungsi

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Yang paling sering dipakai adalah bentuk untuk akar kuadrat:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Rumus-rumus akar

Karena akar mudah diubah menjadi bilangan berpangkat, bentuk akar mewarisi rumus-rumus perpangkatan. Jadi, berlaku hubungan berikut:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Selain itu, berlaku hubungan dasar berikut:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Menyederhanakan bentuk akar

Menyederhanakan bentuk akar adalah teknik untuk membuat bentuk akar lebih sederhana. Teknik ini memakai salah satu rumus di atas:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Bentuk di bawah tanda akar kadang dapat difaktorkan menjadi hasil kali, lalu ditulis sebagai dua akar, dan akhirnya salah satu akar itu dihitung. Contoh khasnya adalah:

$$\sqrt{4x}$$

Menurut rumus tadi, bentuk ini dapat ditulis seperti ini:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Sekarang akar dari 4 dapat kita hitung:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Dengan cara yang sama, bilangan biasa pun dapat ditulis ulang jika kita ingin mempertahankan bentuk eksaknya. Contoh:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Kalkulator

Jika kamu perlu menghitung suatu akar, kamu dapat memakai kalkulator akar 🧮 di situs ini.