Sifat-sifat fungsi

Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap bilangan x dari daerah asal M dengan tepat satu y dari daerah hasil N. Fungsi biasanya ditulis dalam bentuk y = f(x), atau dapat juga dinyatakan secara eksplisit f:y = x, dengan variabel x sebagai variabel bebas fungsi.

Daerah asal dan daerah hasil

Untuk setiap fungsi kita juga harus menentukan daerah asalnya, yaitu himpunan semua nilai x yang diperbolehkan, atau semua nilai yang dapat diambil oleh variabel x. Daerah asal fungsi f dilambangkan dengan D_f.

Contoh sederhana: untuk f:y = x, daerah asalnya adalah seluruh himpunan bilangan real, D_f = ℝ. Contoh lain: untuk $f:y=\frac{1}{x}$, daerah asalnya adalah himpunan bilangan real, tetapi kali ini tanpa nol. Pembagian dengan 0 tidak diperbolehkan, sehingga bentuknya tidak bermakna. Jadi, D_f = ℝ ∖ {0}.

Daerah hasil adalah himpunan semua nilai y yang mungkin, yaitu himpunan semua unsur yang dapat menjadi pasangan dari fungsi f. Contoh sederhana lagi: misalkan fungsi f:y = x. Daerah hasilnya adalah himpunan ℝ, karena y dapat bernilai berapa pun dari himpunan itu. Sekarang ambil fungsi lain, f:y = |x| (nilai mutlak). Daerah hasilnya adalah interval [0, +∞), karena y tidak mungkin bernilai, misalnya, negatif lima. Hal itu mustahil menurut definisi nilai mutlak.

Jika fungsi dipandang sebagai pemetaan dari himpunan A ke himpunan B, himpunan A adalah daerah asal dan himpunan B adalah daerah kawan (kodomain). Daerah hasil merupakan himpunan bagian dari daerah kawan.

Kemonotonan fungsi

Kemonotonan fungsi adalah sifat yang menentukan apakah fungsi pada suatu interval naik, turun, tidak naik, tidak turun, konstan, atau tidak satu pun dari semua itu.

Sifat ini paling mudah dibaca dari grafik. Jika grafiknya tampak menurun, fungsinya turun; jika grafiknya menanjak, fungsinya naik. Sederhana sekali :-). Definisinya seperti ini: misalkan diberikan fungsi f dan x₁, x₂ ∈ D_f. Kita katakan bahwa

• fungsi f naik jika x₁ < x₂ selalu mengakibatkan f(x₁) < f(x₂).
• fungsi f turun jika x₁ < x₂ selalu mengakibatkan f(x₁) > f(x₂). (Definisinya tampak sama, tetapi pada nilai fungsi kasus pertama ada tanda <, sedangkan kasus kedua ada tanda >.)

Perhatikan grafik fungsi naik f(x) = ln(x):

Terlihat bahwa jika kita memilih x₁, x₂ sehingga x₁ < x₂, berlaku juga f(x₁) < f(x₂). Sekarang perhatikan grafik berikutnya, yaitu grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$, yang turun, misalnya, pada interval (0, ∞):

Di sini terlihat bahwa jika x₁ < x₂, nilai fungsinya justru memenuhi f(x₁) > f(x₂). Walaupun x₁ lebih kecil daripada x₂, nilai fungsi yang “dihasilkannya” lebih besar.

Berikut definisi-definisi lainnya:

• Fungsi f tidak turun jika x₁ < x₂ selalu mengakibatkan f(x₁) ≤ f(x₂). (Definisinya mirip dengan fungsi naik, hanya saja fungsi boleh bernilai konstan pada suatu bagian.)
• Fungsi f tidak naik jika x₁ < x₂ selalu mengakibatkan f(x₁) ≥ f(x₂).
• Fungsi f konstan jika daerah hasilnya himpunan satu anggota, atau dengan kata lain jika untuk setiap x₁, x₂ berlaku f(x₁) = f(x₂).

Contoh fungsi tidak naik adalah fungsi f(x) = |x|−x:

Perhatikan bahwa pada interval (−∞, 0) fungsi ini turun, sedangkan pada interval sisanya nilainya konstan (nol). Jadi, pada seluruh daerah asalnya fungsi ini tidak naik.

Fungsi genap dan fungsi ganjil

Dalam keadaan tertentu, suatu fungsi bisa saja merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil. Cara termudah adalah melihat grafiknya, karena dari grafik hal ini paling cepat dikenali. Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu y, sedangkan grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal (0, 0). Contoh fungsi genap adalah y = x², dan contoh fungsi ganjil adalah y = 2x. Definisinya seperti ini: fungsi f disebut

• fungsi genap jika untuk setiap x ∈ D_f berlaku f(x) = f(−x),
• fungsi ganjil jika untuk setiap x ∈ D_f berlaku −f(x) = f(−x).

Fungsi genap dan ganjil dibahas dalam artikel tersendiri, Fungsi genap dan fungsi ganjil.

Fungsi injektif

Fungsi injektif (fungsi satu-satu) dapat dikenali dari nilai-nilai fungsinya yang semuanya berbeda: tidak ada nilai fungsi yang muncul dua kali. Definisinya:

Fungsi f disebut injektif jika untuk setiap x₁, x₂ ∈ D_f berlaku

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Jika kita memilih dua nilai x yang berbeda dari daerah asal fungsi, nilai fungsinya harus selalu berbeda.

Secara grafik, sifat ini selalu mudah dikenali. Setiap garis yang sejajar dengan sumbu x harus memotong grafik paling banyak di satu titik. Contoh fungsi injektif adalah fungsi linear y = 3x. Garis mendatar mana pun selalu memotong grafiknya tepat di satu titik. Sebaliknya, grafik fungsi sinus berbentuk gelombang. Jika kamu menggambar garis yang sejajar dengan sumbu x dan memotong sumbu y di titik $\frac{1}{2}$, kamu akan menemukan tak berhingga banyak titik potong dengan grafik. Jadi, fungsi sinus bukan fungsi injektif.

Fungsi terbatas

Fungsi dapat terbatas di atas, terbatas di bawah, atau terbatas di atas sekaligus di bawah. Fungsi yang terakhir ini disebut saja fungsi terbatas. Fungsi f terbatas di atas jika ada bilangan real A yang lebih besar daripada semua nilai fungsi f. Hal yang serupa berlaku untuk fungsi yang terbatas di bawah. Definisinya:

• Fungsi f terbatas di atas jika ada A ∈ ℝ sehingga untuk setiap x ∈ D_f berlaku A > f(x).
• Fungsi f terbatas di bawah jika ada A ∈ ℝ sehingga untuk setiap x ∈ D_f berlaku A < f(x).

Secara grafik, kita mencari garis yang sejajar dengan sumbu x (garis mendatar) yang terletak di atas atau di bawah seluruh grafik fungsi.

Gambar di atas menunjukkan grafik fungsi f(x) = x⁴, yang terbatas di bawah. Perhatikan bahwa kita tidak perlu mencari A yang “paling dekat” dengan grafik. Garis itu cukup diletakkan di mana saja di bawah grafik.

Nilai minimum dan nilai maksimum

Fungsi f mempunyai maksimum di titik M dari daerah asalnya jika di titik M nilai fungsinya paling besar di antara semua nilai fungsi. Hal yang serupa berlaku untuk minimum. Definisinya:

• Fungsi f mempunyai maksimum global di titik M ∈ D_f jika untuk setiap x ∈ D_f berlaku f(x) ≤ f(M). Singkatnya, nilai fungsi paling besar di titik M. Jika maksimum itu hanya dicapai di satu titik, maksimumnya disebut maksimum tegas.
• Fungsi f mempunyai minimum global di titik m ∈ D_f jika untuk setiap x ∈ D_f berlaku f(x) ≥ f(m). Nilai fungsi paling kecil di titik m.

Pada grafik, maksimum dan minimum fungsi biasanya mudah ditemukan: cukup lihat di mana grafik berada paling rendah atau paling tinggi. Tentu saja fungsi tidak harus mempunyai minimum maupun maksimum. Fungsi juga bisa hanya mempunyai minimum atau hanya maksimum. Fungsi bahkan bisa hanya mempunyai ekstrem lokal, tetapi tidak mempunyai ekstrem pada seluruh daerah asalnya.

Untuk mencari minimum dan maksimum, gunakan turunan. Langkah-langkahnya dijelaskan dalam artikel analisis dan sketsa grafik fungsi.

Contoh

Tentukan sifat-sifat fungsi berdasarkan grafik berikut:

• Daerah asal fungsi ini adalah interval [−4, 4].
• Daerah hasilnya adalah interval [−2, 4].
• Fungsi ini tampak seperti fungsi naik, tetapi pada bagian [0, 2] nilainya konstan, sehingga fungsi ini tidak mungkin naik. Namun, fungsi ini tidak turun pada interval mana pun, jadi fungsi ini adalah fungsi tidak turun.
• Grafik fungsi tidak simetris terhadap sumbu y maupun terhadap titik asal, jadi fungsi ini bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.
• Apakah fungsi ini injektif? Seperti sudah disebutkan, pada bagian [0, 2] nilai fungsinya konstan, sehingga fungsi ini tidak mungkin injektif. Untuk x yang berbeda, nilai y-nya sama.
• Fungsi ini terbatas, baik di atas maupun di bawah. Kita dapat menemukan garis mendatar yang terletak di atas seluruh grafik dan garis mendatar yang terletak di bawah seluruh grafik.
• Fungsi ini juga mempunyai minimum dan maksimum. Minimum dicapai di titik m = −4 dan maksimum di titik M = 4.