Fungsi trigonometri

Artikel ini membahas fungsi trigonometri, yang di beberapa negara juga disebut fungsi goniometri. Kata goniometri berasal dari bahasa Yunani dan berarti pengukuran sudut, sedangkan trigon berarti segitiga. Ada empat fungsi trigonometri dasar, yaitu sinus, kosinus, tangen, dan kotangen.

Istilah dasar pada segitiga

Fungsi trigonometri bekerja dengan sudut-sudut pada segitiga. Karena itu, pada bagian ini kita ulangi istilah-istilah yang berkaitan dengan segitiga.

Pada gambar terlihat segitiga dengan titik sudut A, B, dan C, yaitu segitiga ABC. Segitiga ini mempunyai tiga sisi: AB, BC, AC. Perhatikan juga bahwa sisi-sisi itu diberi nama dengan huruf kecil. Penamaannya mengikuti aturan: di hadapan titik sudut A terdapat sisi a, di hadapan titik sudut B terdapat sisi b, dan di hadapan titik sudut C terdapat sisi c. Jadi, setiap sisi diberi nama menurut titik sudut di hadapannya, yaitu titik sudut yang tidak terletak pada sisi itu.

Setiap segitiga mempunyai tiga sudut dalam, yang biasanya dinamai dengan huruf Yunani alfa α, beta β, dan gama γ. Jumlah ketiga sudut dalam selalu 180 derajat. Biasanya sudut alfa terletak di titik sudut A, beta di B, dan gama di C.

Walaupun fungsi trigonometri dapat dipakai pada segitiga apa pun, kita sering hanya bekerja dengan segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku, yaitu berukuran 90 derajat. Contohnya seperti ini:

Sisi-sisi segitiga siku-siku mempunyai nama khusus. Sisi terpanjang terletak di hadapan sudut siku-siku dan disebut sisi miring atau hipotenusa (sisi biru pada gambar). Dua sisi yang lebih pendek disebut sisi siku-siku (sisi merah). Segitiga inilah yang paling kita perhatikan dalam artikel ini.

Sisi depan dan sisi samping

Mari kita beralih ke fungsi trigonometri pertama, yaitu sinus. Semua fungsi trigonometri menyatakan hubungan antara suatu sudut pada segitiga dan perbandingan panjang dua sisi. Biasanya sudut yang dimaksud bukan sudut siku-siku, melainkan salah satu dari dua sudut lainnya. Jadi, input fungsi trigonometri adalah besar sudut, dan outputnya adalah perbandingan dua sisi. Fungsi-fungsi itu berbeda menurut sisi yang dipakai.

Fungsi sinus memakai sisi depan dan sisi miring. Gambar berikut menunjukkan apa yang dimaksud dengan sisi samping dan sisi depan suatu sudut.

Pada gambar ini kita bekerja dengan sudut beta, yaitu sudut di titik sudut B. Sisi hitam adalah sisi miring, dan untuk sisi ini tidak ada yang berubah. Sisi merah c adalah sisi samping, karena terletak di samping sudut beta. Sisi biru b adalah sisi depan, karena terletak di depan (di hadapan) sudut beta. Yang penting, istilah-istilah ini selalu dikaitkan dengan suatu sudut. Jika kita melihat gambar dari sudut gama, hasilnya seperti ini:

Fungsi sinus

Sinus sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi depan terhadap panjang sisi miring. Apa artinya? Jika kita menghitung sinus sudut alfa (misalnya dengan kalkulator), kita memperoleh nilai hasil bagi

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi depan}}{\text{Panjang sisi miring}}$$

Mari kita coba pada segitiga ini dengan sudut beta: Segitiga ini cukup bagus, karena panjang sisi-sisinya |a| = 5, |b| = 3, dan |c| = 4. Sisi depan sudut beta adalah sisi b, dan sisi miringnya adalah sisi a. Kita hitung hasil bagi b/a, yaitu 3/5, yang sama dengan 0,6. Jadi, sinus sudut beta sama dengan 0,6. Besar sudut beta adalah 36° 52′. Jika kamu memasukkan sudut ini ke kalkulator dan menghitung sinusnya, kamu memperoleh 0,6 (setelah sedikit pembulatan). Hasilnya dapat kamu periksa dengan kalkulator sinus.

Apa gunanya

Fungsi ini berguna jika kamu mengetahui satu sudut dan panjang satu sisi, lalu perlu menghitung sisi-sisi lainnya.

Pertama, kita tuliskan apa yang sudah diketahui. Kita tahu sudut alfa. Kita tahu bahwa sinus sudut ini sama dengan perbandingan sisi depan (sisi a) terhadap sisi miring (sisi b). Ditulis secara matematis:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Sinus sudutnya kita ketahui, atau dapat kita hitung, dan panjang sisi a juga diketahui. Satu-satunya yang belum diketahui adalah panjang sisi b. Jadi, variabel inilah yang harus kita pisahkan di satu ruas. Pertama, kedua ruas persamaan kita kalikan dengan panjang sisi b. Diperoleh

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

Sekarang kedua ruas tinggal dibagi dengan sin(α), sehingga diperoleh bentuk yang diinginkan dengan panjang sisi b di ruas kiri:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Panjang sisi a diketahui, yaitu tiga. Sinus tiga puluh derajat sama dengan setengah. Substitusikan:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Panjang sisi b adalah enam.

Fungsi kosinus

Kosinus sangat mirip dengan sinus. Istilah-istilahnya sama dengan bagian sebelumnya, jadi langsung saja ke definisinya:

Kosinus sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi samping terhadap panjang sisi miring. Jadi, jika kita menghitung kosinus sudut alfa dengan kalkulator, kita memperoleh nilai hasil bagi

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{panjang sisi samping}}{\text{panjang sisi miring}}.$$

Gambar berikut menunjukkan perbedaan antara sinus dan kosinus dengan jelas:

Kedua fungsi memakai sisi miring segitiga, yang tetap berwarna hitam. Sinus memakai sisi depan, yang terhadap sudut alfa adalah sisi merah BC. Kosinus memakai sisi samping, yaitu sisi biru AB.

Kembali ke contoh pada bagian sebelumnya. Di sana kita menghitung panjang sisi miring dari panjang sisi a. Sekarang kita coba menghitung panjang sisi c jika diketahui sudut alfa dan panjang sisi miring yang baru saja kita hitung: b = 6.

Apa yang kita ketahui? Besar sudut alfa adalah 30 derajat, panjang sisi b sama dengan enam, dan kosinus menyatakan perbandingan sisi samping terhadap sisi miring. Sisi sampingnya adalah sisi c, yaitu sisi yang panjangnya ingin kita cari. Kita tuliskan:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Kita perlu menyatakan |c| dari persamaan ini. Caranya, kedua ruas kita kalikan dengan panjang sisi b, sehingga di ruas kanan hanya tersisa panjang sisi c:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Tinggal menukar kedua ruas:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

Di ruas kanan ada bentuk-bentuk yang sudah kita ketahui atau dapat kita hitung. Kosinus tiga puluh derajat kira-kira 0,866 (lihat kalkulator kosinus). Substitusikan ke persamaan:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Itulah panjang sisi c. Seperti yang akan kita lihat nanti, kosinus tiga puluh derajat termasuk nilai sudut istimewa, yaitu

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

sehingga panjang tadi dapat dituliskan dengan tepat:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangen dan kotangen

Ada dua fungsi trigonometri lagi, yaitu tangen dan kotangen. Perbedaan utamanya dibandingkan fungsi-fungsi sebelumnya adalah bahwa tangen dan kotangen hanya memakai kedua sisi siku-siku, tidak memakai sisi miring.

Tangen sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi depan terhadap panjang sisi samping. Tangen dilambangkan dengan tan; di beberapa negara Eropa juga dengan tg.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi depan}}{\text{Panjang sisi samping}}$$

Kotangen sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi samping terhadap panjang sisi depan. Kotangen biasanya dilambangkan dengan cot atau cotan.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi samping}}{\text{Panjang sisi depan}}$$

Istilah-istilahnya sama seperti pada bagian sebelumnya, begitu pula cara bekerja dengan fungsi-fungsi ini. Kembali ke contoh tadi: mari kita hitung panjang sisi c hanya dari besar sudut alfa dan panjang sisi a, yaitu a = 3.

Tangen adalah perbandingan sisi depan terhadap sisi samping, sehingga secara matematis ditulis seperti ini:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Kita perlu menghitung panjang sisi c, jadi kita harus menyatakan |c| dari persamaan ini. Kita kalikan dengan |c| dan bagi dengan tan(α), seperti pada contoh-contoh sebelumnya.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Substitusikan ke ruas kanan. Tangen tiga puluh derajat kira-kira 0,5773 (lihat kalkulator tangen).

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Tangen tiga puluh derajat juga termasuk nilai sudut istimewa:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

sehingga perhitungan tadi dapat dikerjakan secara eksak:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Nilai trigonometri sudut istimewa

Untuk beberapa sudut yang “bagus”, sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mempunyai nilai yang bagus pula. Berikut ringkasannya:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Tautan

Konsep terkait di situs ini:

• Sudut berarah
• Radian