Tích vô hướng

Tích vô hướng được định nghĩa cho hai vectơ và thể hiện mối liên hệ giữa độ dài của các vectơ và góc giữa chúng.

Tích vô hướng

Tích vô hướng được định nghĩa cho hai vectơ. Kí hiệu giống như phép nhân thông thường, bằng dấu chấm giữa dòng: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$. Kết quả của tích vô hướng là một số thực, không phải vectơ. Với hai vectơ $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ và $\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)$, tích vô hướng của chúng bằng:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Nếu ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là vectơ-không thì ta quy ước tích của chúng là:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$

Tích vô hướng có ý nghĩa hình học gì? Tích vô hướng của hai vectơ còn thoả mãn

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha ,$$

trong đó α là số đo góc giữa hai vectơ. Công thức này cho ta một cách đơn giản để tìm góc giữa hai vectơ. Rút côsin từ công thức trên, ta được:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Công thức này dùng trong mặt phẳng. Trong không gian, ta phải thêm một toạ độ nữa. Bây giờ có thể minh hoạ ý nghĩa hình học của tích vô hướng.

Nếu lấy tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ chia cho độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$ thì ta được độ dài đoạn thẳng AD, chính là độ dài hình chiếu của vectơ $\overrightarrow{v}$ lên phương của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Kiểm tra góc vuông

Tích vô hướng có thể dùng để kiểm tra góc giữa hai vectơ có bằng 90° hay không. Khi nào tích vô hướng bằng 0? Nhìn vào công thức…

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha$$

… ta thấy tích $|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|$ luôn khác 0 (ta không định nghĩa góc với vectơ-không, nên ở đây chỉ xét các vectơ khác vectơ-không). Độ dài của các vectơ luôn dương, nên tích của chúng cũng dương. Thừa số duy nhất có thể làm cả biểu thức bằng 0 là côsin. Khi nào côsin bằng 0? Khi góc bằng 90° (hoặc 270°, nhưng khi đó góc vuông nằm ở phía bên kia). Vậy hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Ví dụ: cho ba vectơ ${\overrightarrow{u}}_1=(-2;4),{\overrightarrow{u}}_2=(2;1),{\overrightarrow{u}}_3=(1;4)$. Những vectơ nào vuông góc với nhau? Ta lần lượt tính tích vô hướng của từng cặp vectơ:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{u}}_2\cdot {\overrightarrow{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Theo tích vô hướng, chỉ có hai vectơ ${\overrightarrow{u}}_1$ và ${\overrightarrow{u}}_2$ vuông góc với nhau. Hình vẽ các vectơ này:

Ta thử tính góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{u}}_1$ và ${\overrightarrow{u}}_3$. Chỉ cần thay vào công thức:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Lấy arccos của số này, ta được số đo của góc. Kết quả là góc xấp xỉ 40°.