내적

내적은 두 벡터 사이에 정의하며, 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각 사이의 관계를 나타낸다.

내적

내적은 두 벡터 사이에 정의한다. 보통의 곱셈처럼 가운뎃점으로 $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$와 같이 나타낸다. 내적의 결과는 벡터가 아니라 실수이다. 두 벡터 $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$와 $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$의 내적은 다음과 같다.

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

두 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$ 가운데 적어도 하나가 영벡터이면 내적을 다음과 같이 정의한다.

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$

내적은 기하적으로 무슨 뜻일까? 두 벡터의 내적에 대해서는 다음도 성립한다.

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha ,$$

여기서 α는 두 벡터가 이루는 각의 크기이다. 이 공식으로 두 벡터가 이루는 각의 크기를 쉽게 구할 수 있다. 이 공식을 코사인에 대해 정리하면 다음 공식을 얻는다.

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

이 공식은 평면에서 성립한다. 공간에서는 차원을 하나 더해야 한다. 이제 내적의 기하적 의미를 그림으로 나타낼 수 있다.

벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$의 내적을 벡터 $\overrightarrow{u}$의 크기로 나누면 선분 AD의 길이를 얻는다. 이것은 벡터 $\overrightarrow{v}$를 벡터 $\overrightarrow{u}$의 방향으로 정사영한 것의 크기이다.

직각인지 확인하기

내적을 이용하면 두 벡터가 이루는 각이 90°인지 확인할 수 있다. 내적은 언제 0이 될까? 공식을 보면…

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha$$

… 곱 $|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|$는 분명히 언제나 0이 아니다(영벡터 사이의 각은 정의하지 않으므로 여기서는 영벡터가 아닌 벡터만 다룬다). 벡터의 크기는 언제나 양수이고, 그 곱도 마찬가지이다. 식 전체를 0으로 만들 수 있는 것은 코사인뿐이다. 코사인은 언제 0일까? 각이 90°일 때이다(또는 270°일 때이다. 이때는 직각이 반대쪽에 있다). 따라서 두 벡터가 직각을 이루는 것은 내적이 0일 때이고, 그때뿐이다.

예: 다음 세 벡터가 있다. ${\overrightarrow{u}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{u}}_2=(2,1),{\overrightarrow{u}}_3=(1,4)$. 이 가운데 서로 수직인 것은 무엇일까? 모든 쌍의 내적을 차례로 구한다.

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{u}}_2\cdot {\overrightarrow{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

내적에 따르면 직각은 두 벡터 ${\overrightarrow{u}}_1$과 ${\overrightarrow{u}}_2$ 사이에만 있다. 이 벡터들을 그린 그림을 보자.

이번에는 두 벡터 ${\overrightarrow{u}}_1$과 ${\overrightarrow{u}}_3$이 이루는 각을 구해 보자. 공식에 대입하기만 하면 된다.

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \fallingdotseq & \frac{14}{18.439}\end{array}$$

아크코사인을 구하면 각의 크기를 얻는다. 결과는 약 40°이다.