Fungsi invers trigonometri

Agar fungsi trigonometri dasar dapat dipakai sepenuhnya, fungsi inversnya juga perlu didefinisikan. Fungsi-fungsi itu disebut fungsi invers trigonometri (atau fungsi arcus), yaitu invers sinus, invers kosinus, invers tangen, dan invers kotangen, yang ditulis arcsin, arccos, arctan, dan arccot.

Motivasi

Kita mulai dengan contoh. Hitunglah besar sudut alfa:

Kita mengetahui panjang dua sisi segitiga, yaitu sisi b = 3 dan sisi a = 6. Kita harus menghitung sudut alfa. Sisi a adalah sisi miring, dan sisi b adalah sisi depan sudut alfa. Sisi depan dipakai oleh fungsi sinus; tepatnya, sinus sudut alfa sama dengan perbandingan panjang sisi depan terhadap panjang sisi miring. Jadi, kita substitusikan ke rumus:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Sekarang kita tahu bahwa sinus sudut alfa sama dengan setengah. Pertanyaannya, bagaimana memperoleh sudutnya dari bilangan ini? Untuk itu kita memerlukan fungsi invers dari fungsi sinus. Fungsi sinus menerima sudut sebagai input dan mengembalikan perbandingan dua sisi. Namun, sekarang kita memerlukan fungsi yang menerima perbandingan dan mengeluarkan sudut.

Itulah gunanya fungsi invers trigonometri. Sebelum mendefinisikan fungsi-fungsi ini dengan cermat, kita selesaikan dulu contoh ini dengan Google, yang memberi tahu kita bahwa arcsin setengah sama dengan 30 derajat. Jika kamu ingin menghitung contoh yang sama dengan kalkulator, arcsin di sana sering dilambangkan dengan sin⁻¹.

Invers fungsi sinus?

Pertama, perhatikan grafik fungsi sinus:

Sekarang kita ulangi beberapa sifat fungsi. Fungsi f mempunyai fungsi invers jika fungsi itu injektif. Apa artinya? Jika kita mengambil dua unsur berbeda x₁ dan x₂ dari daerah asal, peta keduanya, f(x₁) dan f(x₂), harus berbeda. Hal ini harus berlaku untuk semua pasangan yang mungkin. Sifat ini mudah dibaca dari grafik: jika ada garis yang sejajar dengan sumbu x dan memotong grafik fungsi f lebih dari sekali, fungsi itu tidak injektif.

Jelas bahwa untuk fungsi sinus garis seperti itu dapat ditemukan. Misalnya, sumbu x sendiri memotong grafik fungsi sinus lebih dari sekali, tepatnya tak berhingga kali. Karena itu, fungsi sinus tidak injektif dan tidak mempunyai fungsi invers.

Invers dari pembatasan fungsi sinus

Dari bagian sebelumnya kita tahu bahwa fungsi sinus tidak mempunyai fungsi invers. Namun, dari bagian pertama kita tahu bahwa ada fungsi arcsin yang berperilaku persis seperti yang kita inginkan. Bagaimana caranya? Kita hanya mengambil sebagian fungsi sinus yang injektif, sehingga untuk pembatasan (restriksi) fungsi ini kita dapat mendefinisikan fungsi invers.

Fungsi sinus dibatasi dengan memperkecil daerah asalnya. Himpunan bagian mana dari daerah asal semula (bilangan real) yang sebaiknya dipilih? Ada beberapa pilihan, tetapi pilihan terbaik adalah interval

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Interval ini ditunjukkan pada gambar berikut:

Pada daerah asal ini kita sudah dapat mendefinisikan fungsi invers, karena pada interval ini fungsi sinus injektif. Grafik fungsi invers simetris dengan grafik fungsi semula terhadap garis y = x, sehingga kita sudah dapat menggambar grafik fungsi invers dari pembatasan fungsi sin(x). Perhatikan gambar berikut:

Grafik sinus semula digambar dengan warna biru. Bagian fungsi yang inversnya kita cari ditandai dengan warna merah. Warna hijau menunjukkan fungsi invers, yang dilambangkan dengan arcsin atau cukup asin.

Daerah asal dan daerah hasil arcsin

Pada kedua fungsi ini kita dapat melihat dengan jelas bagaimana daerah asal dan daerah hasil bertukar. Perhatikan gambar berikut. Grafiknya sama, dengan warna yang sama, hanya sedikit diperbesar dan ditambah beberapa garis dan titik:

Perhatikan bahwa daerah asal pembatasan fungsi sinus (garis merah) adalah interval

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Daerah asal adalah semua x yang membuat fungsi terdefinisi. Kita mendefinisikan fungsi itu hanya pada interval ini agar diperoleh fungsi injektif. Pada grafik, nilai-nilai x ini kita cari pada sumbu x.

Sekarang perhatikan daerah hasil fungsi arcsin (garis hijau). Daerah hasil adalah semua y yang dapat dikembalikan fungsi sebagai output, jadi kita mencarinya pada sumbu y. Daerah hasil fungsi arcsin juga interval

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Ini adalah sifat umum fungsi invers, jadi tidak perlu mengherankan. Hal serupa berlaku untuk daerah hasil pembatasan fungsi sinus dan daerah asal arcsin. Daerah hasil fungsi sinus adalah interval dari negatif satu sampai satu. Sinus hanya dapat mengembalikan nilai-nilai ini; sinus sudut apa pun tidak lebih besar daripada satu dan tidak lebih kecil daripada negatif satu. Karena sinus sudut apa pun tidak mungkin lebih besar daripada satu, wajar jika fungsi inversnya juga tidak dapat menerima input yang lebih besar daripada satu. Karena itu, daerah asal fungsi arcsin juga interval [−1, 1].

Nilai fungsi arcsin dapat kamu hitung dengan kalkulator di situs ini.

Fungsi arccos

Sekarang secara singkat tentang invers fungsi kosinus. Dengan alasan yang sama seperti pada fungsi sinus, fungsi invers di sini tidak ada, karena fungsinya tidak injektif. Meskipun demikian, kita dapat memilih himpunan bagian dari daerah asal sehingga diperoleh fungsi injektif.

Grafik fungsi kosinus ditandai dengan warna biru, dan bagian merah adalah pembatasan fungsi ini pada daerah asal [0, π]. Garis hijau adalah grafik fungsi arccos(x), yaitu fungsi invers dari pembatasan fungsi kosinus tersebut.

Fungsi arctan

Grafik fungsi tangen terlihat seperti ini:

Bentuk grafiknya berbeda dari fungsi-fungsi sebelumnya, tetapi fungsi ini tetap tidak injektif. Sekali lagi kita dapat membatasi fungsi ini dan memilih bagian yang injektif. Kita pilih interval terbuka

$$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

Fungsi inversnya berbentuk seperti ini:

Fungsi arccot

Semuanya sama seperti pada bagian-bagian sebelumnya. Grafik fungsi kotangen: Daerah asal pembatasan fungsi kotangen adalah interval terbuka (0, π).