Paradoks ulang tahun

Berapa orang harus berada di satu kelas atau di sebuah pesta agar dengan peluang paling sedikit 50% ada dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama? Tahunnya tidak penting, yang dihitung hanya tanggal dan bulan. Intuisi kebanyakan orang membisikkan angka sekitar 183, yaitu setengah tahun. Jawaban yang benar adalah 23.

Ini hanya tampak seperti paradoks. Sebenarnya tidak ada pertentangan apa pun; intuisi kita saja yang menarik ke arah yang sama sekali salah.

Mengapa begitu sedikit?

Ketika ditanya tentang ulang tahun yang sama, biasanya kita memikirkan diri sendiri: apakah ada orang yang berulang tahun sama denganku? Namun, pertanyaannya sebenarnya lain. Kita tidak mencari orang yang sama ulang tahunnya denganku, tetapi dua orang mana saja dalam kelompok yang ulang tahunnya sama.

Pasangan yang terbentuk dalam suatu kelompok jauh lebih banyak daripada dugaan kita. Dalam kelompok 23 orang, setiap orang dapat berpasangan dengan 22 orang lainnya. Dengan begitu diperoleh 23 · 22, tetapi setiap pasangan terhitung dua kali (Siti dengan Budi dan Budi dengan Siti), jadi banyak pasangan adalah

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Ini sama dengan koefisien binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})$. Setiap pasangan memberi satu kesempatan terjadinya kecocokan, dan 253 kesempatan sudah cukup banyak.

Cara menghitungnya

Misalkan satu tahun terdiri atas 365 hari, tanggal 29 Februari kita abaikan, dan setiap hari berpeluang sama. Pada kenyataannya, banyak kelahiran sedikit berbeda sepanjang tahun, tetapi hal itu hampir tidak memengaruhi hasilnya.

Menghitung secara langsung kapan paling sedikit dua orang berulang tahun sama akan sangat merepotkan. Yang sama bisa dua orang, tiga orang, dua pasangan berbeda, dan seterusnya. Karena itu, kita mengambil jalan memutar lewat komplemen kejadian: kita hitung peluang bahwa semua orang berulang tahun pada hari yang berbeda, lalu hasilnya kita kurangkan dari satu.

Kita mulai dengan tiga orang. Orang pertama boleh berulang tahun pada hari apa saja, peluangnya $\frac{365}{365}$. Orang kedua harus berulang tahun pada hari yang berbeda dengan orang pertama, jadi hanya tersisa 364 hari dari 365. Bagi orang ketiga, kedua hari yang sudah terpakai tidak boleh dipilih, jadi tersisa 363 hari. Peluang-peluang ini kita kalikan:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

Peluang bahwa dua dari tiga orang berulang tahun sama adalah 1 − 0,9918 = 0,0082, kurang dari satu persen.

Untuk 23 orang, caranya sama, hanya pecahannya lebih banyak. Orang ke-23 mempunyai pilihan 365 − 22 = 343 hari:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Dengan peluang sekitar 0,4927, semua orang berulang tahun pada hari yang berbeda. Kita kurangkan dari satu:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Peluang bahwa paling sedikit dua dari 23 orang berulang tahun pada hari yang sama adalah sekitar 50,7%. Untuk 22 orang peluangnya masih 47,6%, jadi 23 adalah banyak orang terkecil yang membuat peluangnya melewati setengah.

Dengan setiap orang tambahan, peluangnya naik dengan cepat. Untuk 10 orang peluangnya sekitar 12%, untuk 30 orang sekitar 71%, untuk 50 orang sekitar 97%, dan untuk 70 orang sudah lebih dari 99,9%. Jika di sebuah kelas ada tiga puluh anak dan tidak ada dua anak yang berulang tahun sama, itu justru semacam kebetulan kecil.

Bagaimana dengan ulang tahunku?

Kita kembali ke pertanyaan yang pertama kali muncul di benak orang: berapa orang yang diperlukan agar paling sedikit satu di antaranya berulang tahun pada hari yang sama dengan saya?

Di sini perhitungannya lain. Setiap orang dari n orang berulang tahun pada hari yang berbeda dengan ulang tahunku dengan peluang $\frac{364}{365}$, tanpa bergantung pada orang lain. Kita ingin

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

Untuk n = 252 diperoleh sekitar 0,4991, dan itu belum cukup. Untuk n = 253 diperoleh sekitar 0,5005, jadi diperlukan 253 orang. Omong-omong, banyak pasangan dalam kelompok 23 orang juga tepat sebanyak itu. Ini bukan kebetulan belaka: 253 pasangan berarti 253 kesempatan terjadinya kecocokan, sama seperti 253 orang yang dibandingkan denganku. Namun, hasil yang persis sama itu memang sedikit kebetulan. Pasangan-pasangan itu saling memengaruhi sedikit, karena itu untuk 23 orang diperoleh 50,7%, bukan 50,05%.

Lihat juga

• Komplemen kejadian
• Peluang
• Kombinasi
• Masalah Monty Hall