생일 문제 계산기

한 반에 학생이 23명 있다. 이 가운데 적어도 두 명의 생일이 같을 확률은 얼마일까? 대부분은 몇 퍼센트쯤이라고 짐작하지만, 실제로는 절반이 넘는다. 이를 생일 문제(생일 역설)라고 한다. 사실 역설은 아니고 직관이 빗나갈 뿐이다. 한 사람을 나머지 사람과 비교하는 것이 아니라 모든 사람을 서로 비교해야 하는데, 23명이면 두 사람씩 짝을 짓는 방법이 253가지나 된다.

계산기는 1년을 365일로 하고, 어느 날이든 태어나는 사람 수가 같다고 가정한다.

계산 방법

계산기는 다음 공식으로 계산한다.

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

여기서 n은 사람 수이다.

이 확률을 직접 구하기는 어렵다. 두 사람의 생일이 같을 수도, 세 사람이 같을 수도, 서로 다른 두 쌍이 각각 같을 수도 있기 때문이다. 그래서 여사건, 즉 모든 사람의 생일이 서로 다를 확률을 구한다. 첫 번째 사람의 생일은 어느 날이든 상관없고, 두 번째 사람은 남은 364일 가운데 하루, 세 번째 사람은 363일 가운데 하루, 스물세 번째 사람은 343일 가운데 하루에 태어나야 한다.

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\fallingdotseq 0.4927$$

이 값을 1에서 뺀다.

$$P=1-0.4927=0.5073$$

23명 가운데 적어도 두 사람의 생일이 같을 확률은 약 50.73%이다. 누군가의 생일이 나와 같은지는 전혀 다른 문제이다. 나머지 22명이 각각 나와 생일이 다를 확률은 $\frac{364}{365}$이므로, 그 확률은 $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\fallingdotseq 5.86\mathrm{\%}$에 불과하다.