Máy tính nghịch lí ngày sinh

Một lớp học có 23 học sinh. Khả năng có ít nhất 2 học sinh trùng ngày sinh là bao nhiêu? Phần lớn mọi người đoán chỉ vài phần trăm, nhưng thực ra là hơn một nửa. Hiện tượng này gọi là nghịch lí ngày sinh. Thật ra đây không phải nghịch lí, chỉ là trực giác đánh lừa ta: ta không so một người với những người còn lại, mà so từng người với từng người, và trong lớp có tới 253 cặp.

Máy tính giả sử một năm có 365 ngày và số người sinh vào mỗi ngày là như nhau.

Cách tính

Máy tính dùng công thức

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Ở đây n là số người.

Tính trực tiếp thì rất rối, vì có thể trùng 2 người, 3 người, 2 cặp khác nhau… Vì vậy ta tính biến cố đối: mọi người đều sinh vào những ngày khác nhau. Người thứ nhất có thể sinh vào bất kì ngày nào, người thứ hai phải rơi vào một trong 364 ngày còn lại, người thứ ba vào một trong 363 ngày, và người thứ 23 vào một trong 343 ngày:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Lấy 1 trừ đi kết quả này:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Trong 23 người, xác suất có ít nhất 2 người trùng ngày sinh là khoảng 50,73%. Câu hỏi có ai trùng ngày sinh với bạn thì hoàn toàn khác. Mỗi người trong 22 người còn lại có ngày sinh khác bạn với xác suất $\frac{364}{365}$, nên khả năng này chỉ là $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.