적어도 한 번 일어날 확률 계산기

지하철을 무임승차하는데, 탈 때마다 5%의 확률로 검표원에게 걸린다고 하자. 한 번 탈 때는 거의 확실히 무사히 지나간다. 그런데 한 달이면 20번을 타게 된다. 적어도 한 번 걸릴 확률은 얼마일까? 퍼센트를 더해서는 안 된다. 그렇게 하면 20번에는 100%, 30번에는 150%가 나온다. 여사건을 이용해 검표원에게 한 번도 걸리지 않을 확률을 구한 다음, 이 값을 1에서 빼야 한다.

각 시행은 서로 독립이고, 확률 p가 항상 같아야 한다.

필요한 시행 횟수

질문을 거꾸로 할 수도 있다. 검표원에게 거의 확실히, 이를테면 90%의 확률로 걸리려면 무임승차를 몇 번 해야 할까?

계산 방법

n번의 시행에서 사건이 적어도 한 번 일어날 확률은 다음과 같다.

$$P=1-(1-p{)}^n$$

시행 횟수를 구할 때는 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c를 만족하는 가장 작은 n을 찾는다. 여기서 c는 목표로 하는 확률이다. 양변에 로그를 취하면 다음을 얻는다.

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

시행 횟수는 정수여야 하므로 결과를 올림한다.

한 번 탈 때 검표원에게 걸리지 않을 확률은 1 − 0.05 = 0.95이다. 각각의 승차는 서로 독립이므로, 20번 모두 걸리지 않을 확률은 확률을 곱해서 구한다.

$${0.95}^{20}\fallingdotseq 0.3585$$

이 값을 1에서 뺀다.

$$P=1-0.3585=0.6415$$

20번 타는 동안 검표원에게 적어도 한 번 걸릴 확률은 약 64.15%이다. 그렇다면 90%가 되려면 몇 번을 타야 할까? 공식에 대입한다.

$$n\ge \frac{\ln (1-0.9)}{\ln (1-0.05)}=\frac{\ln 0.1}{\ln 0.95}\fallingdotseq 44.89$$

올림하면 45번이다. 45번을 타면 검표원에게 걸릴 확률은 약 90.06%이다. 차라리 표를 사는 편이 싸다.