Máy tính xác suất xảy ra ít nhất một lần

Giả sử bạn đi xe buýt không mua vé và ở mỗi chuyến, nhân viên soát vé kiểm tra bạn với xác suất 5%. Với một chuyến thì gần như chắc chắn sẽ không sao. Nhưng sau một tháng, bạn đã đi 20 chuyến. Khả năng bị bắt ít nhất một lần là bao nhiêu? Không thể cộng các phần trăm lại: với 20 chuyến sẽ ra 100%, còn với 30 chuyến thậm chí ra 150%. Ta tính qua biến cố đối: tính xác suất để nhân viên soát vé không lần nào kiểm tra, rồi lấy 1 trừ đi.

Các phép thử phải độc lập với nhau và luôn có cùng xác suất p.

Cần bao nhiêu phép thử?

Có thể đặt câu hỏi ngược lại: phải đi xe không vé bao nhiêu lần để gần như chắc chắn bị bắt, chẳng hạn với xác suất 90%?

Cách tính

Xác suất để biến cố xảy ra ít nhất một lần trong n phép thử là

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Để tìm số phép thử, ta tìm số n nhỏ nhất thoả mãn 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, trong đó c là xác suất mong muốn. Lấy lôgarit hai vế, ta được

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Ta làm tròn kết quả lên, vì số phép thử phải là số nguyên.

Ở một chuyến, nhân viên soát vé không kiểm tra với xác suất 1 − 0,05 = 0,95. Các chuyến đi độc lập với nhau, nên xác suất để 20 chuyến đều không bị kiểm tra bằng tích các xác suất:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Lấy 1 trừ đi kết quả này:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Sau 20 chuyến, xác suất bị bắt ít nhất một lần là khoảng 64,15%. Vậy bao nhiêu chuyến thì đủ để đạt 90%? Thay số vào:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Làm tròn lên được 45 chuyến. Với 45 chuyến, xác suất bị bắt là khoảng 90,06%. Mua vé vẫn rẻ hơn.