Fungsi logaritma

Fungsi logaritma adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial.

Apa itu logaritma

Fungsi logaritma ditulis dengan lambang log. Untuk logaritma natural (lihat di bawah), kita menggunakan lambang ln. Bentuk dasar fungsi logaritma adalah sebagai berikut:

$$y={}^a\log x$$

Notasi ini dibaca: “logaritma x dengan basis a”. Fungsi logaritma ini merupakan invers dari fungsi eksponensial f(x) = a^x. Nilai fungsi logaritma disebut logaritma.

Karena fungsi logaritma adalah invers fungsi eksponensial, berlaku ekuivalensi berikut:

$$y={}^a\log x\iff a^y=x$$

Artinya, jika nilai a^y sama dengan x, logaritma x dengan basis a sama dengan y. Mari kita lihat beberapa contoh. Misalkan diberikan fungsi eksponensial f(x) = 2^x. Seperti apa fungsi inversnya (fungsi logaritma)? Seperti ini: f⁻¹(x) = ²log x. Jika angka 3 kita substitusikan ke fungsi eksponensial, diperoleh f(3) = 2³ = 8.

Hubungan apa yang sekarang harus berlaku? Jika angka 8 kita masukkan ke fungsi invers f⁻¹, fungsi logaritma harus menghasilkan angka 3. Sebab, angka 3 adalah input fungsi eksponensial, sedangkan angka 8 adalah hasilnya. Fungsi invers bekerja terbalik: angka 8 menjadi input dan angka 3 menjadi output. Untuk sementara, kebenarannya bisa kamu periksa, misalnya dengan Google (log2 di sini berarti logaritma basis 2).

Jadi, jika kita menulis 2³ = 8, fungsi logaritma sebagai inversnya memberikan hubungan ²log 8 = 3. Lalu, apa sebenarnya logaritma itu? Logaritma adalah pangkat yang harus diberikan pada basis agar hasilnya sama dengan numerus x.

Fungsi logaritma yang penting

Beberapa fungsi logaritma sangat penting. Salah satunya adalah “logaritma natural”, yang basisnya adalah bilangan Euler. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf e. Bilangan e termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang bentuk desimalnya tak berhingga dan tidak berulang. Nilai hampirannya adalah e = 2,718 281 828…. Logaritma natural ditulis sebagai ^elog x atau lebih sederhana sebagai ln x. Huruf “n” berasal dari bahasa Latin “logarithmus naturalis”, yang berarti “logaritma alami”. Dari situlah nama “logaritma natural”.

Logaritma penting lainnya adalah “logaritma basis 10” (disebut juga logaritma biasa), yaitu fungsi logaritma dengan basis sepuluh. Logaritma ini biasanya ditulis sebagai ¹⁰log x atau cukup log x. Jika basis logaritma tidak dituliskan, basisnya dianggap 10.

Sifat-sifat fungsi logaritma

Seperti yang sudah kita ketahui, fungsi logaritma adalah invers fungsi eksponensial. Karena itu, fungsi logaritma juga mewarisi sebagian sifat dan batasan fungsi eksponensial. Kita tahu bahwa fungsi eksponensial berbentuk f(x) = a^x, dengan a bilangan real yang lebih besar daripada nol dan tidak sama dengan satu. Akibatnya, basis logaritma a juga harus lebih besar daripada nol dan tidak sama dengan satu. Berikut sekali lagi penulisan fungsi logaritma:

$$y={}^a\log x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Karena fungsi logaritma adalah fungsi invers, daerah asal dan daerah hasilnya pun sudah kita ketahui. Daerah asal fungsi logaritma sama dengan daerah hasil fungsi eksponensial, yaitu (0, ∞). Daerah hasil fungsi logaritma sama dengan daerah asal fungsi eksponensial, yaitu himpunan semua bilangan real.

Grafik fungsi logaritma

Seperti pada fungsi eksponensial, kita harus membedakan dua kasus: basis a terletak pada interval (0, 1) atau pada interval (1, ∞). Pada kasus pertama, yaitu jika a terletak pada interval (0, 1), grafiknya seperti ini:

Jika basis a terletak pada interval (1, ∞), grafiknya seperti ini:

Coba kamu perhatikan juga grafik fungsi eksponensial dan fungsi logaritma yang merupakan inversnya dalam satu gambar (kurva biru adalah logaritma, kurva merah adalah fungsi eksponensial):

Mengapa grafik fungsi logaritma melalui titik (1, 0)

Kedua grafik memotong sumbu X di titik x = 1. Hal ini wajar karena setiap fungsi eksponensial melalui titik (0, 1). Karena logaritma adalah fungsi inversnya, fungsi logaritma selalu melalui titik (1, 0). Alasannya sederhana. Jika grafik melalui titik (1, 0), artinya untuk input x = 1 diperoleh output f(x) = 0.

Untuk logaritma, artinya kita mencari pangkat yang harus diberikan pada basis agar hasilnya 1. Pangkat berapa itu? Hanya pangkat nol. Bilangan apa pun dipangkatkan nol hasilnya satu. Karena itu, berapa pun basisnya, fungsi logaritma selalu melalui titik (1, 0). (Catatan: ingat bahwa basis tidak boleh sembarang bilangan: a>0 dan a ≠ 1.)

Sifat-sifat logaritma (rumus)

Berikut beberapa hubungan dan rumus penting tentang logaritma.

Misalkan a memenuhi syarat basis logaritma, yaitu a>0, a ≠ 1. Misalkan pula x₁ dan x₂ sembarang bilangan real positif. Berlaku sifat-sifat berikut:

$$\begin{array}{rcl}{}^a\log (x_1\cdot x_2)& =& {}^a\log x_1+{}^a\log x_2\\ {}^a\log \left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {}^a\log x_1-{}^a\log x_2\\ {}^a\log x^r& =& r\cdot {}^a\log x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {}^a\log \sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{}^a\log x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Beberapa hubungan yang langsung diperoleh dari definisi logaritma:

$$\begin{array}{rcl}{}^a\log 1& =& 0(a^0=1)\\ {}^a\log a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{}^a\log x}& =& {}^a\log a^x=x\end{array}$$

Menyatakan logaritma lain dengan logaritma natural

Kadang-kadang, misalnya pada kalkulator, tidak tersedia logaritma dengan basis sembarang, tetapi hanya logaritma natural dan logaritma basis 10. Apa yang harus dilakukan jika kamu perlu menghitung logaritma dengan basis lain? Ada rumus yang dapat membantumu, yaitu:

$${}^a\log x=\frac{{}^b\log x}{{}^b\log a}$$

Jika untuk b kita pilih bilangan Euler, diperoleh rumus:

$${}^a\log x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Pada bagian pertama, kita perlu menghitung logaritma 8 dengan basis 2. Dengan logaritma natural, nilainya dapat dihitung seperti ini:

$${}^2\log 8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Hasil perhitungan ini juga dapat diperiksa dengan Google. Kamu tidak harus memakai logaritma natural. Logaritma basis 10 pun boleh digunakan karena rumus tadi berlaku untuk basis apa pun. Jadi, berlaku juga:

$${}^2\log 8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(Ingat bahwa jika basis tidak dituliskan, basisnya dianggap a = 10.) Sekali lagi, periksalah dengan Google.

Kalkulator

Jika kamu perlu menghitung logaritma, kamu dapat memakai kalkulator logaritma 🧮 di situs ini.