Matriks transisi

Jika diberikan ruang vektor V dan dua basisnya, satu vektor dari ruang tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi vektor-vektor dari kedua basis. Matriks transisi membantu kita mengubah satu bentuk penulisan menjadi bentuk yang lain.

Motivasi

Misalkan diberikan ruang vektor V berdimensi n dan dua basisnya yang berbeda, E = {e₁, …, e_n} dan F = {f₁, …, f_n}. Selanjutnya, kita pilih suatu vektor x dari V. Karena x berasal dari ruang V dan karena E maupun F adalah basis ruang ini, harus ada koefisien a₁, …, a_n sedemikian sehingga:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

dan sekaligus harus ada koefisien b₁, …, b_n sedemikian sehingga:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Pada kasus pertama, kita menyatakan vektor x dengan basis E, dan pada kasus kedua dengan basis F. Kita menggunakan dua basis berbeda untuk menyatakan x, sehingga kita juga memperoleh dua kelompok koefisien yang berbeda, yaitu a_i dan b_i. Muncul pertanyaan: jika kita mengetahui koefisien b_i, adakah cara untuk memperoleh koefisien a_i dari koefisien-koefisien tersebut, yaitu koordinat vektor terhadap basis pertama?

Ada, yaitu dengan matriks transisi.

Cara memperoleh matriks transisi

Kita tetap memiliki ruang V dan dua basis E = {e₁, …, e_n} dan F = {f₁, …, f_n}. Karena E adalah basis ruang V, tentu semua vektor f₁, …, f_n juga dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor dari basis E. Vektor f₁, …, f_n memang bagian dari basis F, tetapi sekaligus juga elemen biasa ruang V, sehingga harus berlaku:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Sekarang persamaan-persamaan ini kita tuliskan dalam matriks: di kolom pertama matriks ada koefisien vektor $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, yaitu a_i1, di kolom kedua koefisien vektor $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, yaitu a_i2, dan seterusnya. Kita memperoleh matriks:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Matriks seperti ini disebut matriks transisi dari basis E ke basis F. Jika diberikan vektor x = (x₁, …, x_n) dari V yang terhadap basis F memiliki koefisien b₁, …, b_n, koefisien a₁, …, a_n terhadap basis E kita peroleh dari

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Contoh

Kita bekerja pada ruang vektor ℝ³. Kita pilih basis standar E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} dan basis kedua F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. Matriks transisi dari basis E ke basis F berbentuk

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Sekarang kita pilih sembarang vektor x ∈ ℝ³, misalnya x = (12, 41, 28). Terhadap basis F, vektor ini memiliki koefisien b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Kita hitung hasil kali matriks:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Terhadap basis E, vektor x memiliki koefisien a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Jadi, berlaku:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$