Contoh-contoh ruang vektor

Pada bagian sebelumnya, kita telah mendefinisikan ruang vektor, atau ruang linear, dan melihat contoh ruang vektor klasik ℝ². Dalam artikel ini, kita akan melihat contoh-contoh lainnya.

Ruang vektor Rⁿ

Kita sudah mengenal ruang vektor ℝ², yang terdiri atas vektor-vektor berbentuk (a, b), dengan a, b bilangan real. Kita akan menunjukkan bahwa sebenarnya setiap himpunan n-tupel berurutan ℝⁿ, untuk n > 0, membentuk ruang vektor.

Untuk n = 2, kita memperoleh himpunan pasangan (a, b). Jika n kita naikkan menjadi n = 3, kita memperoleh himpunan tripel. Dengan begitu, kita berpindah dari bidang ke ruang. Jadi, ℝ² mewakili bidang biasa, dan ℝ³ mewakili ruang tiga dimensi biasa.

Definisi operasi penjumlahan dan perkalian sama seperti pada kasus n = 2, hanya saja kita harus menjumlahkan/mengalikan semua komponen vektornya:

$$\begin{array}{rcl}(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n)& =& (a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1,a_2,\dots ,a_n)& =& (k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n)\end{array}$$

Sekarang seharusnya kita membuktikan bahwa ruang vektor ℝ³, atau secara umum ℝⁿ, memenuhi ketujuh poin dari definisi ruang vektor. Namun, bukti-buktinya pada dasarnya sama, hanya saja alih-alih vektor dengan dua komponen kita bekerja dengan vektor tiga komponen. Misalnya, poin pertama tentang sifat komutatif penjumlahan vektor untuk n = 3 kita buktikan seperti ini:

Kita harus membuktikan: x + y = y + x, dengan x, y ∈ ℝ³. Kita jabarkan penjumlahan dua vektor:

$$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$$

Jika vektor-vektor di ruas kiri kita tukar, kita peroleh:

$$(d,e,f)+(a,b,c)=(d+a,e+b,f+c)$$

Dari sifat penjumlahan dua bilangan real diperoleh bahwa kedua vektor hasil sama, yaitu (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Jika kamu membandingkannya dengan bukti untuk n = 2 di artikel sebelumnya, kamu akan melihat bahwa buktinya praktis sama. Enam poin lainnya dapat dibuktikan dengan cara serupa.

Yang menarik, ℝ¹ = ℝ, yaitu himpunan bilangan real itu sendiri, juga merupakan ruang vektor. Penjumlahan dan perkalian vektor berubah menjadi penjumlahan dan perkalian bilangan real biasa, dan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan real tentu memenuhi ketujuh poin tersebut.

Kita pasti akan menjumpai ruang ℝⁿ lagi; ruang ini adalah ruang vektor yang cukup umum.

Ruang vektor matriks m × n

Himpunan semua matriks yang memiliki m baris dan n kolom dan hanya berisi bilangan real, bersama operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar, membentuk ruang vektor. Secara singkat, ruang ini kita tulis ℝ^{m × n}.

Untuk m = 2, n = 3, kita memperoleh matriks dengan dua baris dan tiga kolom. Contoh matriks konkret adalah

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

Operasi penjumlahan kita definisikan sebagai berikut:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Ini penjumlahan matriks biasa. Perkalian dengan skalar didefinisikan dengan cara serupa:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Himpunan semua matriks ℝ^{m × n} dengan operasi yang didefinisikan seperti ini membentuk ruang vektor. Yang penting, kita selalu harus mengambil himpunan semua matriks dengan ordo yang sama. Jika ada matriks dengan ordo lain yang ikut masuk, misalnya jika pada ℝ^{2 × 2} kita tambahkan matriks berordo 3 × 1, kita akan mendapat masalah, karena matriks berordo 3 × 1 bahkan tidak dapat dijumlahkan dengan matriks berordo 2 × 2.

Sekarang kita seharusnya kembali memeriksa bahwa ruang vektor yang didefinisikan seperti ini memenuhi ketujuh syarat yang kita tetapkan untuk ruang vektor. Karena untuk matriks penulisannya akan sangat panjang sampai tangan pegal, terutama tangan saya, berikut versi singkatnya:

Penjumlahan dua matriks menghasilkan matriks baru dengan ordo yang sama. Perkalian dengan skalar menghasilkan matriks baru dengan ordo yang sama, jadi operasi kita cocok dari segi jenisnya.

1. x + y = y + x: penjumlahan matriks jelas bersifat komutatif, karena elemen pada posisi ij dalam matriks hasil berbentuk x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): penjumlahan matriks juga bersifat asosiatif, karena (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: sekali lagi berlaku a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: sekali lagi, untuk elemen pada posisi ij kita peroleh kesamaan: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: lagi-lagi kita cukup menyatakan elemen pada posisi ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: karena 1 · x_ij = x_ij, poin ini juga berlaku.
• Adanya elemen nol. Elemen nol adalah matriks nol, karena untuk semua matriks x dalam ruang vektor kita berlaku 0 · x_ij = 0

Ruang vektor polinomial

Polinomial, atau suku banyak, dilambangkan p(x) dan merupakan bentuk:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Kita asumsikan a_n ≠ 0. Derajat polinomial tersebut adalah bilangan n. Bilangan real a₀, …, a_n disebut koefisien polinomial. Contoh polinomial adalah bentuk 4 + 3x − 7x², dengan a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 dan derajat polinomialnya 2. Beberapa koefisien bisa bernilai nol, sehingga bentuk x² + π x⁷ adalah polinomial berderajat 7 dengan a₂ = 1, a₇ = π, sedangkan koefisien lainnya nol.

Polinomial mudah dijumlahkan — cukup jumlahkan koefisien-koefisiennya. Contoh:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

Secara umum, penjumlahan polinomial dapat didefinisikan sebagai berikut:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

dengan q bilangan terbesar di antara m dan n. Hasil kali polinomial p(x) dengan k diperoleh dengan mengalikan semua koefisien dengan bilangan k:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Sebagai contoh:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

Himpunan semua polinomial, yang kita beri lambang P(X), dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan seperti ini membentuk ruang vektor. Pemeriksaan:

Jumlah dua polinomial juga menghasilkan polinomial, dan perkalian dengan skalar juga menghasilkan polinomial baru. Jadi, operasi yang kita definisikan cocok dari segi jenisnya.

Tujuh sifat lain yang harus dipenuhi ruang vektor bisa kamu periksa sendiri sebagai pekerjaan rumah. Buktinya praktis sama seperti pada matriks sebelumnya, hanya saja alih-alih x_ij kamu menulis x_i. Polinomial nolnya adalah polinomial p(x) = 0.

Pada matriks, kita mensyaratkan agar ruang vektor hanya memuat matriks dengan ordo yang sama, tetapi pada polinomial syarat seperti ini tidak kita gunakan. Bahkan kita tidak bisa mensyaratkannya. Jika kita mengambil himpunan semua polinomial berderajat dua, himpunan ini tidak membentuk ruang vektor. Mengapa? Kita bisa menunjukkannya dengan contoh penyangkal. Kita jumlahkan dua polinomial berikut:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Karena polinomial pertama memuat 3x² dan polinomial kedua memuat −3x², setelah dijumlahkan kita memperoleh 0x², sehingga derajat polinomialnya turun. Polinomial 2 + 4x berderajat 1, bukan 2.