Dimensi ruang vektor

Dimensi ruang vektor sama dengan banyaknya elemen basis ruang vektor tersebut. Jika basisnya tak berhingga, kita katakan bahwa dimensinya juga tak berhingga.

Definisi dimensi ruang vektor

Misalkan diberikan ruang vektor V dan suatu basisnya B. Artinya, berlaku B ⊆ V, himpunan B memuat vektor-vektor yang bebas linear, dan rentang linear himpunan B sama dengan ruang V: span(B) = V.

Jika basis B memiliki elemen yang banyaknya berhingga, yaitu n, kita katakan bahwa dimensi ruang V adalah n. Dimensi ditulis dengan kata dim, sehingga dim V = |B| = n. Jika basis B tak berhingga, kita katakan bahwa dimensi ruang tersebut juga tak berhingga. Karena semua basis suatu ruang selalu memiliki ukuran yang sama, tidak penting basis mana yang kita ambil.

Contoh: ruang ℝ³ memiliki basis (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Semuanya ada tiga vektor, jadi dim ℝ³ = 3. Secara umum, kita bisa mengatakan bahwa dim ℝⁿ = n.

Jika ruang V memiliki dimensi n, kita menyebutnya ruang vektor berdimensi n.

Sifat-sifat dimensi ruang vektor

• Misalkan diberikan ruang vektor V dan suatu subruangnya W ⊆ V. Maka berlaku dim W ≤ dim V.
• Misalkan diberikan ruang vektor V berdimensi berhingga dan suatu subruangnya W ⊂ V. Maka berlaku dim W < dim V. Bedanya dengan poin sebelumnya, di sini kita tidak membolehkan W = V. Jadi, jika ada subruang W yang lebih kecil daripada V, subruang ini juga memiliki dimensi yang lebih kecil. Mengapa? Karena ada vektor x ∈ V ∖ W yang bukan kombinasi linear vektor-vektor dari W, sehingga juga bukan kombinasi linear vektor-vektor dari basis W mana pun.
• Jika ruang V memiliki dimensi n, setiap n vektor yang bebas linear membentuk basis ruang V. Himpunan n + 1 vektor membentuk himpunan vektor yang bergantung linear.