Subruang vektor

Subruang vektor adalah himpunan bagian dari suatu ruang vektor yang tetap tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

Definisi

Misalkan diberikan suatu ruang vektor V. Subruang vektor W adalah suatu himpunan bagian dari ruang V, dan himpunan W ini sekaligus juga merupakan ruang vektor. Jadi, agar himpunan bagian tak kosong W ⊆ V merupakan subruang vektor dari ruang V, himpunan itu harus memenuhi dua syarat berikut: untuk semua x, y ∈ W dan untuk setiap a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Jadi, kita harus memilih himpunan bagian dari V yang vektor-vektornya tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian.

Subruang dari ruang R³

Mari kita ambil ruang ℝ³ dan kita cari suatu subruangnya.

1. Bagaimana, misalnya, dengan semua tripel berbentuk (a, a, a), dengan a ∈ ℝ? Yaitu tripel seperti $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ atau (−π, −π, −π). Subruang seperti ini, yang kita beri lambang W₁, merupakan himpunan bagian dari ruang ℝ³, yaitu W₁ ⊆ ℝ³, karena ℝ³ memuat semua tripel.

Ruang seperti ini tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor, karena

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Setelah menjumlahkan dua vektor, kita memperoleh vektor baru yang ketiga komponennya juga sama, dan vektor seperti ini termasuk dalam himpunan W₁. Jadi, himpunan W₁ memenuhi syarat pertama subruang vektor. Namun, apakah himpunan ini juga memenuhi syarat kedua?

Ya, karena perkalian dengan k juga mengubah ketiga komponen vektor, tetapi dengan cara yang persis sama:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Sekali lagi kita memperoleh vektor yang ketiga komponennya sama, dan vektor seperti ini termasuk dalam himpunan W₁. Jadi, himpunan W₁ adalah subruang vektor dari ℝ³.

• Kita bisa mencoba mengambil semua tripel (a, b, c) yang memenuhi a, b, c ∈ [−1, 1]. Himpunan ini kita beri lambang W₂, dan elemennya misalnya tripel $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ atau $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Apakah elemen-elemen W₂ tertutup terhadap penjumlahan? Jelas tidak, karena $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ sama dengan tripel $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, yang tidak termasuk dalam W₂. Jadi, himpunan W₂ tidak membentuk subruang dari ruang ℝ³; himpunan W₂ bahkan sama sekali tidak membentuk ruang.

• Sekarang kita ambil semua tripel berbentuk (a, 0, b), dengan a, b ∈ ℝ, yaitu semua tripel yang komponen keduanya nol. Himpunan ini kita beri lambang W₃. Apakah himpunan ini tertutup terhadap penjumlahan? Ya, karena

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Hasilnya adalah tripel (a + c, 0, b + d), yang komponen keduanya nol dan kedua komponen lainnya bilangan real. Tripel ini tentu termasuk dalam W₃. Apakah W₃ tertutup terhadap perkalian? Ya, karena

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Sekali lagi kita memperoleh tripel (k · a, 0, k · b), yang komponen keduanya selalu nol dan komponen lainnya bilangan real. Tripel seperti ini adalah elemen W₃. Jadi, himpunan W₃ membentuk subruang dari ruang ℝ³. Perhatikan bahwa jika tripelnya berbentuk (a, b, 0) atau (a, 0, 0), tripel-tripel itu juga membentuk subruang vektor.

Subruang polinomial

Pada artikel sebelumnya, kita telah melihat ruang vektor yang terdiri atas polinomial. Sebagai pengingat: polinomial adalah bentuk

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Kita asumsikan a_n ≠ 0. Derajat polinomial tersebut adalah bilangan n. Bilangan real a₀, …, a_n disebut koefisien polinomial. Contoh polinomial adalah bentuk 4 + 3x − 7x². Mari kita coba mencari suatu subruang vektor. Misalkan diberikan ruang vektor P(x) yang berisi semua polinomial.

1. Pertama, kita coba himpunan semua polinomial berderajat n, dengan n ≥ 0; himpunan ini kita beri lambang W₁. Pada artikel sebelumnya kita sudah menyebutkan bahwa himpunan ini sama sekali bukan ruang vektor, sehingga tidak mungkin merupakan subruang vektor dari ruang P(x). Sebagai pengingat, jika misalnya suatu polinomial dalam W₁ dikalikan nol, kita memperoleh polinomial p(x) = 0, yang menurut definisi berderajat −1. Jadi, elemen ini tentu tidak termasuk dalam W₁ mana pun.

2. Kita coba mengambil W₂ sebagai semua polinomial berderajat n atau kurang. Jadi, untuk n = 2, W₂ memuat semua polinomial berderajat 2, 1, 0, −1. Apakah himpunan ini tertutup terhadap penjumlahan? Ya, karena jumlah dua polinomial berderajat paling tinggi n tidak pernah berderajat lebih dari n, paling-paling lebih kecil. Begitu pula himpunan ini tertutup terhadap perkalian, karena hasil kali polinomial p(x) dengan k berupa polinomial berderajat sama atau polinomial nol. Kedua kemungkinan ini termasuk dalam himpunan W₂, sehingga W₂ membentuk subruang dari ruang P(X).

Sifat-sifat dasar subruang

Misalkan diberikan ruang vektor V dan dua subruangnya, W₁ dan W₂. Berlaku:

1. Irisan W₁ ∩ W₂ adalah subruang vektor dari V.

   Misalkan diberikan ruang vektor ℝ³ dan subruang W₁ dan W₂, dengan W₁ terdiri atas tripel berbentuk (a, b, 0) dan W₂ terdiri atas tripel berbentuk (a, 0, b), dengan a, b ∈ ℝ. Jadi, irisan W₁ ∩ W₂ adalah himpunan yang memuat tripel berbentuk (a, 0, 0) — himpunan ini jelas merupakan subruang dari ruang ℝ³.

   Namun, tentu saja ini bukan bukti. Buktinya seperti ini: kita ambil sembarang ruang vektor V dan dua subruangnya, W₁ dan W₂. Kita ingin membuktikan bahwa untuk semua x, y ∈ W₁ ∩ W₂ berlaku x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Karena vektor x dan y termasuk dalam irisan W₁ ∩ W₂, tentu berlaku x, y ∈ W₁ dan sekaligus x, y ∈ W₂ (hal ini mengikuti definisi irisan himpunan). Karena W₁ dan W₂ juga merupakan ruang vektor, harus berlaku pula x + y ∈ W₁ dan sekaligus x + y ∈ W₂ (hal ini mengikuti definisi ruang vektor). Sekarang kita memiliki x + y ∈ W₁ dan sekaligus x + y ∈ W₂, sehingga diperoleh x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (sekali lagi berdasarkan definisi irisan himpunan — jika suatu elemen terletak dalam himpunan W₁ dan juga dalam himpunan W₂, elemen itu juga terletak dalam irisannya).

   Selanjutnya, kita harus memeriksa ketertutupan terhadap perkalian. Kita harus membuktikan bahwa untuk semua k ∈ ℝ dan x ∈ W₁ ∩ W₂ berlaku k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Langkahnya sama. Karena x ∈ W₁ ∩ W₂, berlaku juga x ∈ W₁ dan x ∈ W₂. Karena W₁ dan W₂ adalah ruang, k · x ∈ W₁ dan sekaligus k · x ∈ W₂, sehingga k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Gabungan W₁ ∪ W₂ belum tentu merupakan subruang dari V.

   Untuk membuktikan sifat kedua, cukup kita temukan contoh penyangkal yang sesuai. Kita cukup menggunakan ruang W₁ dan W₂ sebelumnya, yang masing-masing terdiri atas tripel berbentuk (a, b, 0) dan (a, 0, b). Jika kita cari gabungannya, kita memperoleh semua tripel yang memiliki nol di tempat kedua atau ketiga. Jadi, vektor (1, 0, 1) dan (1, 1, 0) tentu termasuk dalam gabungan W₁ ∪ W₂. Namun, jumlahnya sama dengan vektor (2, 1, 1), yaitu vektor yang sama sekali tidak memiliki nol. Vektor ini tidak termasuk dalam W₁ maupun W₂, sehingga tidak mungkin termasuk dalam W₁ ∪ W₂. Jadi, kita menemukan dua vektor yang jumlahnya tidak termasuk dalam himpunan yang sama, sehingga himpunan tersebut tidak mungkin merupakan ruang vektor.