Basis ruang vektor

Basis ruang vektor V adalah himpunan vektor yang bebas linear dan rentang linearnya adalah ruang V.

Motivasi basis ruang vektor

Misalkan diberikan suatu ruang vektor V dan suatu himpunan bagian W ⊂ V sedemikian sehingga rentang linear span(W) himpunan ini sama dengan ruang V, yaitu span(W) = V. Contoh: misalkan W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} dan V = ℝ².

Jelas bahwa span(W) = ℝ². Himpunan W hanya memiliki tiga vektor, tetapi berkat rentang linear, dengan himpunan ini kita dapat menggambarkan seluruh himpunan tak berhingga vektor ℝ². Muncul pertanyaan — dapatkah kita menghapus beberapa vektor lagi dari himpunan W dan tetap mempertahankan sifat span(W) = ℝ²?

Jika, misalnya, kita buang vektor terakhir (2, 3), kita memperoleh himpunan W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Rentang linear himpunan ini juga ℝ². Jadi, muncul pertanyaan — himpunan vektor terkecil mana yang rentang linearnya adalah himpunan ℝ²?

Jika dari W₁ kita hapus salah satu dari dua vektor yang tersisa, himpunan ini, yang kita beri lambang W₂, tidak lagi memiliki rentang ℝ². Misalnya, rentang linear himpunan W₂ = {(1, 0)} adalah himpunan span(W₂) = {(a, 0) | a ∈ ℝ}. Himpunan ini jelas tidak sama dengan himpunan ℝ²; di dalamnya tidak ada, misalnya, vektor (0, 1).

Jadi, himpunan W₁ = {(1, 0), (0, 1)} adalah himpunan vektor minimal yang rentang linearnya adalah ruang ℝ². Selanjutnya kita bisa tertarik pada pertanyaan-pertanyaan lain:

1. Apakah ada himpunan dengan satu anggota yang sama sekali lain, yang rentang linearnya adalah ruang ℝ²?
2. Apakah ada himpunan vektor terkecil yang tunggal, yang rentang linearnya adalah ruang ℝ²?

Seperti kata pepatah para jurnalis, jika judul berita berbentuk pertanyaan, jawabannya tidak, dan di sini pun demikian. Tidak ada himpunan dengan satu anggota yang rentang linearnya ℝ². Buktinya dapat dilakukan seperti ini:

Apakah ada himpunan dengan satu anggota yang rentangnya ℝ²?

Kita andaikan ada himpunan {x} yang memuat satu vektor x yang semua kombinasi linearnya membentuk ruang ℝ². Maka harus ada bilangan real a₁, a₂ sedemikian sehingga

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Mengapa justru vektor-vektor ini? Sebenarnya tidak penting vektor mana yang kita pilih, asalkan bebas linear.

Misalkan x = (x₁, x₂). Maka tentu x₁, x₂ ≠ 0, karena jika x₁ = 0, sulit memperoleh vektor yang diinginkan (1, 0) sebagai kombinasi linear vektor x. Hal yang sama berlaku untuk x₂. Sistem persamaan di atas cukup kita jabarkan:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Kita tuliskan dalam bentuk persamaan-persamaan:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh a₁ = a₂ = 0, karena jika x₁, x₂ ≠ 0, satu-satunya kemungkinan agar hasil kali a₁ · x₂ dan a₂ · x₁ bernilai nol adalah a₁ = a₂ = 0. Namun, hal ini bertentangan dengan persamaan pertama dan keempat, karena jika a₁ = 0, maka a₁ · x₁ = 0, padahal persamaan pertama menyatakan a₁ · x₁ = 1.

Jadi, tidak ada himpunan dengan satu anggota yang rentang linearnya adalah ruang ℝ².

Apakah ada himpunan vektor terkecil yang rentangnya ℝ²?

Kita tahu bahwa tidak ada himpunan dengan satu anggota yang memiliki sifat ini, dan kita tahu bahwa himpunan W = {(1, 0), (0, 1)} memiliki rentang linear ℝ². Jadi, kita bertanya apakah himpunan ini satu-satunya himpunan dengan dua anggota yang rentangnya ℝ².

Tentu saja bukan, karena himpunan dua anggota lain, W = {(2, 0), (0, 2)}, juga memiliki rentang ℝ². Setiap pasangan vektor (a, 0), (0, a), a ∈ ℝ, a ≠ 0 memiliki rentang ℝ². Sebenarnya setiap pasangan vektor yang bebas linear memiliki rentang ℝ². Jadi, ada tak hingga banyaknya himpunan dua anggota yang rentangnya dapat membangkitkan ℝ².

Selain itu, setiap himpunan bagian dengan tiga anggota W₃ ⊆ ℝ² terdiri atas vektor-vektor yang bergantung linear. Mengapa? Jika diberikan tiga vektor (a, b), (c, d), (e, f), ketiganya dapat kita tuliskan dalam matriks:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Matriks ini memiliki rank paling besar dua, sehingga pasti ada kolom/vektor yang bergantung linear.

Definisi basis ruang vektor

Misalkan diberikan ruang vektor V, dan misalkan B ⊆ V. Kita katakan bahwa B adalah basis ruang vektor V jika berlaku:

1. span(B) = V
2. B adalah himpunan vektor yang bebas linear.

Basis adalah himpunan vektor bebas linear yang rentangnya adalah ruang V. Jadi, basis adalah himpunan vektor minimal yang rentangnya adalah ruang V. Jika satu elemen basis kita hapus, rentangnya tidak lagi ruang V. Jika satu vektor kita tambahkan, vektor ini merupakan kombinasi linear vektor-vektor lainnya.

Dalam ruang ℝⁿ, himpunan n-tupel (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1) membentuk basis ruang ℝⁿ, dan basis ini disebut basis standar (basis baku). Misalnya, untuk ℝ³ kita memperoleh basis standar (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Dalam hal ini, vektor (a, b, c) diperoleh sebagai kombinasi

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Jika vektor (0, 1, 0) kita hapus, rentang himpunan baru ini bukan lagi ℝ³. Jika kita tambahkan vektor (14, −2, 5), vektor ini merupakan kombinasi linear vektor-vektor lainnya dengan koefisien a = 14, b = −2, c = 5.

Sifat-sifat dasar basis ruang vektor

• Setiap ruang linear V memiliki basis; untuk ruang trivial {0} — ruang yang hanya memuat vektor nol — basisnya adalah himpunan kosong. Setiap himpunan bebas linear B₀ ⊆ V merupakan basis ruang V atau dapat dilengkapi menjadi basis. Jika B₀ bukan basis, yaitu span(B₀) ≠ V, maka ada vektor x₀ ∈ V ∖ span(B₀). Vektor ini bukan kombinasi vektor-vektor dari B₀. Vektor ini kita tambahkan ke himpunan B₀, sehingga kita memperoleh himpunan baru B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Sekali lagi kita bisa mengatakan bahwa B₁ merupakan basis atau dapat dilengkapi menjadi basis. Jika ruang V memiliki basis berhingga, dalam langkah yang banyaknya berhingga kita memperoleh himpunan vektor bebas linear B_n yang merupakan basis ruang V.

• Basis suatu ruang tidak ditentukan secara tunggal; selalu ada lebih dari satu basis.

• Semua basis suatu ruang vektor memiliki banyak elemen/vektor yang sama, atau semuanya tak berhingga. Misalnya, semua basis ruang ℝ² memiliki dua vektor; tidak ada himpunan dengan tiga elemen maupun himpunan dengan satu elemen yang merupakan basis ruang ℝ².

• Jika diberikan basis B = {e₁, …, e_n} dari ruang V, setiap vektor x dari ruang V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor basis, yaitu ada koefisien real a₁, …, a_n sedemikian sehingga

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Selain itu, koefisien-koefisien ini tunggal. Artinya, jika untuk koefisien b₁, … b_n berlaku

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  maka haruslah a₁ = b₁, …, a_n = b_n.