Rentang linear

Jika diberikan suatu himpunan vektor dan kita hitung semua kombinasi linear-nya, kita memperoleh rentang linear (span) dari himpunan vektor tersebut.

Definisi rentang linear

Misalkan diberikan vektor x₁, …, x_n. Kita sudah tahu bahwa dari vektor-vektor ini kita dapat menyusun vektor baru dengan kombinasi linear. Kita pilih bilangan real a₁, …, a_n, lalu vektor baru y kita peroleh dengan perkalian dan penjumlahan

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Dengan cara ini, jika paling sedikit satu vektor x_i bukan vektor nol, dari himpunan vektor x₁, …, x_n kita dapat membuat tak hingga banyaknya vektor “lain” — cukup pilih koefisien a₁, …, a_n yang lain.

Jika kita terus membangkitkan vektor-vektor, akhirnya kita memperoleh semua vektor yang dapat diperoleh sebagai kombinasi linear vektor x₁, …, x_n. Himpunan ini disebut rentang linear (span) dari vektor x₁, …, x_n. Rentang linear himpunan vektor X dilambangkan dengan span(X) (sebagian buku memakai kurung sudut ⟨X⟩). Secara formal, rentang linear dapat ditulis seperti ini

$$\mathrm{span}({\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n)=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

jika banyaknya vektor berhingga. Jika diberikan himpunan vektor X yang tak berhingga, kita dapat mengambil semua himpunan bagian berhingga Y_i ⊆ X, yaitu |Y_i| = r untuk suatu r ∈ ℕ, dan rentang linear himpunan X adalah gabungan semua himpunan span(Y_i).

Contoh

Kita tetap memakai ruang vektor favorit kita, ℝ³. Kita pilih himpunan dengan satu anggota X₁ = {(1, 2, 1)} dan kita bertanya: apa rentang linear himpunan ini? Rentang linear ini terdiri atas semua kombinasi linear vektor (1, 2, 1). Rentangnya berbentuk

$$\mathrm{span}(X_1)=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Jadi, rentang ini memuat vektor-vektor seperti (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1), dan seterusnya. Kita bisa memeriksa bahwa jumlah dua vektor di dalamnya menghasilkan vektor baru dengan bentuk yang sama:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Contoh kedua adalah vektor-vektor klasik X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Jika kita hitung semua kombinasi linearnya, kita akan melihat bahwa semuanya berbentuk (a, b, 0), dengan a, b ∈ ℝ. Hal ini mudah ditunjukkan, karena

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Jadi, vektor-vektor dalam rentang ini misalnya (0, 8, 0), (14, 15, 0), dan sebagainya. Secara formal, kita menuliskannya seperti ini:

$$\mathrm{span}(X_2)=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Rentang linear sebagai subruang terkecil

Misalkan diberikan ruang vektor V dan suatu himpunan vektor X ⊆ V. Rentang linear span(X) adalah subruang vektor dari ruang V, artinya rentang span(X) adalah ruang vektor.

Kita cukup menunjukkan bahwa rentang span(X) tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian. Hal ini jelas benar, karena setiap vektor x ∈ span(X) diperoleh sebagai kombinasi linear vektor-vektor dari X.

Rentang linear himpunan X juga merupakan subruang terkecil yang memuat semua vektor dari himpunan X. Mengapa? Subruang vektor terkecil yang memuat vektor-vektor dari X juga harus memuat semua kombinasi linear vektor-vektor dari X — jika tidak, subruang itu bukan ruang vektor. Dengan bukti kontradiksi, kita bisa mengandaikan bahwa ada subruang vektor yang lebih kecil, kita beri lambang Y, yang memuat semua vektor dari X, yaitu X ⊆ Y. Karena menurut pengandaian Y lebih kecil daripada rentang span(X), harus ada vektor x yang termasuk dalam span(X), tetapi tidak termasuk dalam Y, yaitu x ∈ span(X) ∧ x ∉ Y.

Namun, vektor x harus dapat disusun sebagai kombinasi linear vektor-vektor dari X, sehingga harus ada vektor x₁, …, x_n ∈ X dan koefisien a₁, …, a_n sedemikian sehingga

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Jika Y tidak memuat vektor x ini padahal memuat vektor x₁, …, x_n, maka Y tidak mungkin merupakan ruang vektor, dan karena itu juga bukan subruang. Jadi, rentang span(X) adalah subruang terkecil yang memuat semua vektor dari X.

Sifat-sifat dasar rentang linear

• Selalu berlaku W ⊆ span(W). Hal ini seharusnya jelas. Rentang linear himpunan W selalu sama dengan atau lebih besar daripada himpunan W. Karena rentang linear span(W) memuat semua kombinasi linear vektor-vektor dari W, maka span(W) juga harus memuat semua vektor dari W: jika kita ambil suatu vektor x ∈ W, untuk a = 1 kita memperoleh kombinasi a · x = x.

  Contoh: rentang linear himpunan W = {(1, 0, 0)} adalah himpunan

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{span}(W)& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Jelas bahwa {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ}.

• Selalu berlaku span(W) = span(span(W)). Jika rentang linear sudah kita hitung sekali, rentang linear dari rentang tersebut adalah rentang yang sama. span(W) memuat semua kombinasi linear dari W. Jika kita menghitung lagi semua kombinasi linear dari span(W), kita tidak memperoleh kombinasi baru.

• Misalkan diberikan suatu ruang vektor V dan dua himpunan bagian dari ruang ini (belum tentu subruang), W₁ dan W₂, yaitu W₁, W₂ ⊆ V. Jika berlaku juga W₁ ⊆ W₂, maka berlaku span(W₁) ⊆ span(W₂).

  Dengan kata lain: jika ada dua himpunan vektor dan salah satunya lebih kecil, himpunan vektor yang lebih kecil ini memiliki rentang linear yang lebih kecil atau sama dengan rentang himpunan yang lebih besar.

  Contoh: misalkan W₁ = {(1, 0, 0)} dan W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Terlihat bahwa berlaku W₁ ⊆ W₂. Bagaimana rentang linearnya?

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{span}(W_1)& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ \mathrm{span}(W_2)& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Himpunan vektor W₂ “membangkitkan rentang yang lebih besar” daripada himpunan W₁, seperti yang kita harapkan. Himpunan W₂ memuat semua vektor dari himpunan W₁, sehingga semua kombinasi linear vektor-vektor dari W₁ juga dapat dibangkitkan dari vektor-vektor dalam W₂.

  Contoh lain: W₃ = {(1, 2, 0)} dan W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Sekilas terlihat bahwa vektor-vektor dalam W₄ bergantung linear. Karena itu, kedua himpunan membangkitkan rentang yang sama. Jadi, meskipun W₃ ⊂ W₄, berlaku span(W₃) = span(W₄).