Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pecahan

Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai pecahan. Pecahan terdiri atas dua bagian. Bagian atas disebut pembilang, dan bagian bawah disebut penyebut. Ada juga pecahan bersusun, yaitu pecahan yang pembilang atau penyebutnya memuat pecahan lain. Omong-omong, semua tanda di antara pecahan (plus, minus, sama dengan, dan sebagainya) selalu ditulis sejajar dengan garis pecahan, bukan sejajar dengan pembilang atau penyebut. Dan tahukah kamu bahwa lima dari empat orang punya masalah dengan pecahan?

Informasi dasar

Pecahan berbentuk seperti berikut:

$$\frac{\text{pembilang}}{\text{penyebut}}$$

Contoh pecahan adalah

$$\frac{2}{5},$$

yaitu dua per lima. Penyebut disebut penyebut karena bagian inilah yang “menyebut” nama pecahan. Per lima, per tiga, per enam… itulah nama utama pecahan, dan nama itu berasal dari bilangan di bawah garis pecahan. Sebaliknya, pembilang menyatakan banyaknya bagian. Pada contoh tadi, ada dua bagian per lima. Cukup sekian tentang nama-namanya.

Pembilang dan penyebut pada dasarnya bisa berupa bilangan apa saja, bahkan pecahan lagi. Namun, yang paling sering kita jumpai adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya bilangan asli.

Pecahan hanyalah cara lain menulis pembagian. Nilai pecahan dihitung dengan membagi pembilang dengan penyebut. Jadi, secara umum, nilai pecahan $\frac{a}{b}$ adalah bilangan a/b. Pecahan tadi (dua per lima) bernilai 2/5, yaitu 0,4.

Mengubah ke bentuk paling sederhana

Pecahan bisa diolah dan diubah bentuknya, yaitu diperluas dan disederhanakan, tanpa mengubah nilainya. Hal ini mudah dibayangkan dengan kata-kata. Misalnya, setengah sama nilainya dengan dua per empat atau empat per delapan. Sebabnya, pecahan hanyalah pembagian yang berganti baju, dan bilangan setengah bisa diperoleh dari pembagian berbagai bilangan. Empat dibagi delapan sama dengan setengah. Sepuluh dibagi dua puluh juga sama dengan setengah. Karena itu, pecahan-pecahan

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

memiliki nilai yang sama.

Terlihat bahwa pecahan-pecahan lain yang nilainya sama kita peroleh dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan awal 1/2 dengan 2. Setelah dikalikan, kita mendapat pecahan 2/4, dua per empat. Jika pembilang dan penyebut pecahan ini juga dikalikan 2, kita mendapat pecahan 4/8, empat per delapan. Yang kita lakukan di sini adalah memperluas pecahan.

Kebalikan dari memperluas adalah menyederhanakan pecahan, yaitu membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama. Untuk menyederhanakan pecahan, kita harus menemukan bilangan yang habis membagi pembilang dan penyebut. Dalam praktik, menyederhanakan pecahan sangat sering dilakukan, karena pecahan menjadi jauh lebih sederhana dan lebih mudah diolah. Misalnya, pada pecahan 12/18, sekilas terlihat bahwa kedua bilangan genap, jadi habis dibagi 2. Tentu saja pecahan ini bisa disederhanakan dengan 2, tetapi jika diperhatikan lagi, pembilang dan penyebutnya juga habis dibagi 6. Jika pecahan disederhanakan dengan 6, kita mendapat pecahan yang lebih sederhana daripada jika hanya disederhanakan dengan 2. Karena itu, pecahan ini kita sederhanakan dengan 6. Hasilnya pecahan 2/3.

Pecahan ini tidak bisa disederhanakan lagi, karena tidak ada bilangan (lebih besar dari satu) yang habis membagi pembilang sekaligus penyebutnya. Pecahan yang tidak bisa disederhanakan lagi disebut pecahan dalam bentuk paling sederhana. Usahakan selalu bekerja dengan pecahan dalam bentuk paling sederhana. Setiap kali kamu bekerja dengan pecahan, periksa dulu apakah ada pecahan yang bisa disederhanakan. Kamu akan menghemat waktu. Satu contoh lagi:

$$\frac{24}{42}$$

Bilangan berapa yang habis membagi 24 dan 42 sekaligus? Keduanya genap, jadi pasti 2. Pembilang dan penyebut kita bagi 2:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Apakah masih ada bilangan yang habis membagi kedua bilangan ini? Ya, kali ini 3.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Apakah masih ada bilangan yang habis membagi pembilang dan penyebut? Tidak ada, jadi pecahan ini sudah dalam bentuk paling sederhana.

Perkalian pecahan

Mungkin kamu heran, tetapi perkalian dan pembagian pecahan lebih mudah daripada penjumlahan dan pengurangan. Untuk mengalikan dua pecahan, cukup kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut dengan penyebut. Itu saja. Contoh perkalian pecahan:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Pada perkalian pecahan, ada cara lain untuk menyederhanakan. Kamu tidak hanya bisa menyederhanakan di dalam satu pecahan, tetapi juga secara silang. Jika pembilang pecahan pertama bisa disederhanakan bersama penyebut pecahan kedua, kamu boleh melakukannya untuk mempermudah perkalian. Contoh (bilangan yang disederhanakan diberi kotak):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Apa yang kita lakukan? Angka 4 dan 8 sama-sama kita bagi 4. Nilai hasil kalinya tidak berubah. Jika tidak kita sederhanakan sekarang, kita juga bisa menyederhanakannya setelah perkalian.

Perkalian pecahan dengan bilangan bulat bisa diubah menjadi perkalian dua pecahan dengan menulis bilangan bulat c sebagai c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Terlihat bahwa jika pecahan dikalikan dengan bilangan bulat, cukup pembilangnya saja yang dikalikan dengan bilangan itu.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Pembagian pecahan

Pembagian pecahan pada dasarnya sama dengan perkalian. Jika kamu ingin membagi satu pecahan dengan pecahan lain, pecahan kedua (pembagi) dibalik, lalu kedua pecahan dikalikan seperti biasa. Contoh sederhana pembagian pecahan (perhatikan bahwa setelah pecahan dibalik, 12 dan 6 bisa disederhanakan):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Pembagian kita ubah menjadi perkalian dengan membalik pecahan $\frac{6}{11}$ menjadi $\frac{11}{6}$, lalu mengalikannya dengan pecahan pertama yang tidak diubah. Mengapa cara ini benar? Bayangkan contoh yang lebih sederhana, misalnya pembagian dengan setengah. Jika kita menghitung

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

apa yang sebenarnya kita lakukan? Kita mencari tahu berapa kali setengah muat di dalam sepuluh. Setengah muat tepat dua kali di dalam setiap satu (dua kali setengah sama dengan satu), jadi di dalam sepuluh setengah muat dua puluh kali. Hasil yang sama kita peroleh jika mengalikan dua dengan sepuluh, yaitu dua puluh juga. Lalu, berapa nilai setengah jika dibalik? Dua per satu, yaitu dua.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Hasilnya:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Penjumlahan pecahan

Penjumlahan pecahan sedikit lebih rumit. Pecahan hanya bisa dijumlahkan jika penyebutnya sama. Jika penyebutnya tidak sama, kita harus menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Setelah itu caranya mudah, mirip dengan perkalian: pembilang pecahan pertama dijumlahkan dengan pembilang pecahan kedua. Bedanya dengan perkalian, penyebutnya tetap sama. Pertama, contoh penjumlahan pecahan berpenyebut sama:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Masuk akalkah? Satu per dua ditambah lima per dua sama dengan enam per dua. Ya, cukup masuk akal.

Jika penyebut pecahan-pecahannya tidak sama (dan ini lebih sering terjadi), kita harus menyamakannya. Artinya, salah satu atau kedua pecahan diperluas sehingga penyebutnya sama. Misalkan kita ingin menjumlahkan dua pecahan ini:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Penyebut pecahan pertama 3, penyebut pecahan kedua 2. Saat ini keduanya sulit dijumlahkan. Namun, jika pecahan pertama diperluas dengan 2, penyebutnya menjadi 6, dan jika pecahan kedua diperluas dengan 3, penyebutnya juga menjadi 6. Sekarang kedua pecahan berpenyebut sama dan bisa dijumlahkan dengan mudah. Jadi, pada langkah pertama, pecahan-pecahan kita perluas sehingga penyebutnya sama:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Sekarang tinggal menjumlahkan pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Hati-hati, pada penjumlahan kita tidak boleh menyederhanakan secara silang seperti pada perkalian. Misalnya, setelah diubah, penyebut pecahan pertama adalah 6 dan pembilang pecahan kedua adalah 15. Meskipun begitu, kita tidak boleh menyederhanakannya dengan 3:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Penyederhanaan seperti ini hanya boleh dilakukan jika pecahan-pecahan itu dikalikan:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Bagaimana cara umum menyamakan penyebut dua pecahan? Pecahan pertama diperluas dengan penyebut pecahan kedua, dan pecahan kedua diperluas dengan penyebut pecahan pertama. Secara umum dapat ditulis seperti ini:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Pecahan pertama diperluas dengan d, yaitu penyebut pecahan kedua. Pecahan kedua diperluas dengan b, yaitu penyebut pecahan pertama. Contoh konkret:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Pecahan pertama diperluas dengan 8, dan pecahan kedua dengan 4. Setelah itu, pecahan-pecahan ini bisa dijumlahkan.

Rumus umum penjumlahan pecahan menjadi seperti ini:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Pengurangan pecahan

Pengurangan pecahan dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan, hanya saja pembilang-pembilangnya dikurangkan, bukan dijumlahkan. Jadi, rumus umum penjumlahan tadi kita ubah menjadi:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Contoh konkret. Pertama, kita samakan penyebutnya:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Sekarang tinggal mengurangkan pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Perkalian silang

Pada persamaan, kita bisa memakai perkalian silang untuk menyederhanakan kesamaan dua pecahan. Sebenarnya, perkalian silang hanyalah dua operasi ekuivalen pada persamaan tersebut. Misalkan ada persamaan dengan dua pecahan

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Persamaan ini bisa diubah dengan mengalikannya dengan penyebut pecahan pertama, lalu dengan penyebut pecahan kedua. Pertama, kedua ruas kita kalikan dengan penyebut pecahan pertama, yaitu b. Kita peroleh

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Lalu kedua ruas kita kalikan dengan d, dan kita peroleh

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Pada pecahan pertama kita coret b, dan pada pecahan kedua kita coret d. Hasilnya adalah persamaan

$$ad=bc.$$

Jadi, kita bisa menganggapnya sebagai rumus: jika persamaan berbentuk kesamaan dua pecahan, persamaan itu bisa diubah seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Berikut contohnya. Pada langkah pertama, pecahan-pecahan diuraikan dengan rumus tadi, dan pada langkah kedua bentuk di kedua ruas tinggal sedikit diubah.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Selanjutnya persamaan ini diselesaikan seperti persamaan kuadrat biasa, tetapi hal itu di luar cakupan artikel ini.

Topik terkait

Pecahan sering muncul dalam soal penyederhanaan bentuk aljabar. Hal ini dibahas dalam artikel pecahan aljabar. Khusus untuk itu, ada juga algoritma pembagian polinomial dengan polinomial.