Dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i valori ammissibili che possiamo sostituire alla variabile x nella funzione f(x), in modo che la funzione abbia senso.

Che cos’è il dominio di una funzione

Un esempio semplice è la funzione f(x) = 1/x. Il dominio è l’insieme di tutti i valori ammissibili che, sostituiti nella funzione 1/x, ci danno un’espressione valida.

Per sapere che cos’è un’«espressione valida», dobbiamo conoscere le proprietà delle funzioni e delle operazioni. Nella nostra funzione dividiamo per la variabile x: la variabile x sta al denominatore della frazione. Per quali valori possiamo dividere? Per tutti, tranne lo zero. Per zero non si può dividere, e allo stesso modo lo zero non può stare al denominatore di una frazione. La divisione non ha altre limitazioni.

Perciò al posto di x possiamo sostituire qualsiasi numero reale tranne zero. Il dominio è quindi D = ℝ ∖ {0}. Il dominio si indica di solito con la lettera D (oppure con Dom f, se vogliamo specificare la funzione f di cui calcoliamo il dominio).

Abbiamo così calcolato il dominio più ampio possibile. Ma dato che abbiamo definito il dominio come l’insieme dei valori che possiamo sostituire al posto di x, anche qualsiasi sottoinsieme del dominio è di nuovo un dominio. A volte ci può far comodo limitare la funzione solo ad alcune x. Per esempio, nelle successioni ci limitiamo ai numeri naturali, mentre in goniometria si lavora spesso solo con l’intervallo [0; 2π].

Tuttavia, se il testo di un esercizio chiede di calcolare il dominio di una funzione, di solito si intende che devi calcolare il dominio più ampio possibile.

Il dominio si può leggere anche dal grafico della funzione. Come esempio prendiamo il grafico della funzione precedente f(x) = 1/x.

Se proietti il grafico sull’asse x, ottieni il dominio. Se il punto x non appartiene al dominio, allora, tracciando in quel punto la perpendicolare all’asse x (una retta verticale), questa retta non incontra nessun punto del grafico. Vediamo che questa condizione è soddisfatta solo dallo zero: non ha «né sopra né sotto di sé» nessun punto del grafico della funzione. Tutti gli altri ce l’hanno.

Calcolo del dominio

Per calcolare il dominio di una funzione composta, devi conoscere i domini di tutte le funzioni di cui si compone. Altrimenti non si può fare. Se ti chiedessi di calcolare il dominio della funzione f(x) = uno(x) + due(x), non ci riusciresti, perché non sai come sono definite le funzioni uno e due. Vediamo i domini di alcune funzioni elementari:

• Il logaritmo ha D = (0; +∞).
• La radice ha D = [0; +∞).
• La tangente ha D = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• La cotangente ha D = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• La funzione esponenziale ha D = ℝ.
• La funzione lineare e la funzione quadratica hanno D = ℝ.

Se è data una sola funzione, è molto semplice. Basta stabilire quale dominio ha quella funzione, guardare l’argomento e sostituirlo in modo opportuno nella (dis)equazione. Ecco un esempio: determina il dominio della funzione log₁₀ (3x + 2). L’argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi deve valere 3x + 2 > 0. È una disequazione di primo grado, che risolviamo facilmente:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Il dominio è formato da tutte le x che soddisfano questa disequazione, quindi D = (−2/3; +∞).

Calcola il dominio di $\sqrt{2x+8}$.

Sotto la radice non può esserci un numero negativo, quindi risolviamo la disequazione 2x + 8 ≥ 0 e otteniamo il risultato:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Quindi D = [−4; +∞).

Calcola il dominio di 1/x².

Al denominatore non può esserci zero, quindi risolviamo l’equazione x² ≠ 0. Questo vale quando x ≠ 0, quindi D = ℝ ∖ {0}.

Scomposizione delle funzioni composte

Con le funzioni composte la situazione è un po’ più complicata, perché dobbiamo tenere conto di più funzioni che si influenzano a vicenda e restringono via via il proprio dominio. Prendiamo per esempio questo caso:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Qui devono valere due condizioni. L’espressione sotto la radice deve essere maggiore o uguale a zero, non può essere negativa. Quindi x ≥ 0. Ma la radice si trova al denominatore della frazione, quindi la radice non può risultare zero, altrimenti la frazione non avrebbe di nuovo senso. Perciò rafforziamo l’affermazione precedente in x > 0.

Procederemo in modo analogo anche negli altri esempi. È però importante stabilire l’ordine delle funzioni annidate: dobbiamo capire quale funzione è interna e quale è esterna. Nell’esempio precedente era evidente: la funzione interna era la radice e quella esterna la frazione. Se volessimo calcolare quell’espressione a mano, prima calcoleremmo la radice dell’argomento x e solo dopo la frazione. È un buon trucco: la funzione più interna è quella con cui cominceresti a calcolare, se facessi il calcolo a mano. Un altro esempio:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Ora possiamo scegliere l’approccio opposto: cercare le funzioni esterne. La funzione esterna «avvolge» quelle interne. Qui la radice quinta avvolge chiaramente tutte le altre funzioni. Poi la terza potenza avvolge il risultato del logaritmo, il logaritmo avvolge la tangente e infine la tangente avvolge la variabile x. Semplice. Con il metodo più tradizionale possiamo procedere così: quando conosciamo il valore di x, per prima cosa ne calcoliamo la tangente. È quindi la funzione più interna. A questo risultato applichiamo il logaritmo: è la seconda funzione più interna. Al risultato applichiamo poi la potenza e alla fine estraiamo la radice.

Scomponi la funzione composta:

$$f(x)=\mathrm{sen}\frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Cominciamo dalla funzione esterna, che è il seno. Poi, in ordine, c’è la frazione, poi il logaritmo, poi la funzione esponenziale (immagina questa sostituzione: 10^a) e infine la funzione lineare 2x + 3.

Scomponi la funzione composta:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

La funzione esterna è la funzione esponenziale 2^a. Poi c’è la frazione, quindi, al denominatore della frazione, la radice e infine la funzione lineare 3x.

Dominio delle funzioni composte

Se sai scomporre le funzioni in esterne e interne, determinare il dominio non può più essere un problema. Lo vediamo subito con un esempio:

$$f(x)=\frac{47}{\mathrm{sen}(x)-1}$$

Cominciamo dalla frazione. Il denominatore deve essere diverso da zero. Lo scriviamo:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(x)-1& \ne & 0\\ \mathrm{sen}(x)& \ne & +1\end{array}$$

Dalle proprietà della funzione seno sappiamo che il valore 1 viene raggiunto nel punto x = π/2. Poiché è una funzione periodica, otteniamo l’insieme M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Questo è l’insieme dei valori per cui il denominatore risulta uguale a zero. Queste x non possiamo sostituirle nella nostra funzione.

Ma non è tutto: dobbiamo ancora guardare il dominio della funzione seno. Per fortuna è uguale a ℝ, quindi non ci limita in alcun modo. La restrizione è data solo dal denominatore della frazione. Quindi D = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.