Linje

Linjen er den næstsimpleste geometriske figur og er endimensional (den har så at sige kun længde). Linjen er, helt enkelt sagt, en uendelig lang ret streg, som hverken har en ende eller en begyndelse.

Grundlæggende egenskaber

En linje betegner vi som regel med små bogstaver, for eksempel a. En linje bestemmes som regel af to punkter, for gennem to punkter kan man tegne netop én linje. Der findes også halvlinjen, som ligner linjen, bortset fra at den har et begyndelsespunkt (men stadig ingen ende). For eksempel består vinklers ben af halvlinjer.

Beskrivelse af linjen i planen

Hvis vi befinder os i planen, kan vi beskrive linjen ved hjælp af en lineær funktion, hvis graf altid er en linje. Desværre fejler denne metode i rummet, for med en lineær funktion kan man ikke bestemme en tredje dimension. I planen er det dog den letteste måde at beskrive en vilkårlig linje, som ikke er parallel med y-aksen. Hvis du har en funktion givet, kan du sikkert let tegne linjen ud fra den, men den anden vej kan være et problem. Lad os derfor tage en tegnet linje som denne:

Forskriften for en lineær funktion ser sådan ud: y = ax + b. Først finder vi b, begyndelsesværdien. Det er nemmest at aflæse af grafen, hvor linjen skærer y-aksen, altså når x er lig med nul. Vi ser, at det er to, så b = 2. Det skyldes, at når ax er lig med nul, er den eneste måde at få to for y i forskriften y = ax + b, at begyndelsesværdien er lig med to.

Nu skal vi finde ud af, hvad a er lig med. Det bliver mere bekvemt, hvis vi et øjeblik fjerner begyndelsesværdien og antager, at den er nul. Linjen flytter sig så til koordinatsystemets origo, og vi kan lettere bestemme a:

Vi ser tydeligt, at i punktet x = 6 har y værdien 2. Den oplysning indsætter vi i funktionens forskrift: 6a + 0 = 2. Heraf udregner vi let, at $a=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Nu har vi fundet værdien af a og kan skrive hele funktionens forskrift, og dermed linjens: y=1/3x+2.

$$y=\frac{x}{3}+2$$

Linjers indbyrdes beliggenhed

To linjer i planen kan have flere forskellige indbyrdes beliggenheder. Lad os derfor begynde med beliggenhederne i planen.

Hvis du har to linjer, som ligger oven på hinanden og falder sammen til én — de skærer hinanden i alle punkter — kaldes de sammenfaldende linjer. Hvis linjerne skærer hinanden i netop ét punkt, kaldes de skærende linjer. Hvis linjerne ikke skærer hinanden i noget punkt, kaldes de parallelle linjer. Parallelle linjer markeres som regel med to små korte streger på hver linje, se den sidste figur. Det opsummerer de følgende figurer overskueligt:

Hvordan du finder linjers indbyrdes beliggenhed, kan du læse i en selvstændig artikel i kategorien analytisk geometri. I samme kategori finder du også fremgangsmåden til at finde linjens ligning på formen ax + by + c = 0, parameterfremstilling for en linje eller linjens ligning y = ax + b.