Linje

Linjen er den nest enkleste geometriske figuren, og den er endimensjonal (den har så å si bare lengde). Enkelt sagt er en linje en uendelig lang rett strek som verken har slutt eller begynnelse.

Grunnleggende egenskaper

En linje betegner vi vanligvis med en liten bokstav, for eksempel a. Vanligvis gir vi en linje ved to punkter, siden det går nøyaktig én linje gjennom to gitte punkter. Det finnes også en halvlinje, som ligner på en linje, bortsett fra at den har et startpunkt (men fortsatt ikke noe endepunkt). For eksempel er vinkelbeina dannet av halvlinjer.

Likningen for en linje i planet

Når vi arbeider i planet, kan vi skrive linjen som en lineær funksjon, og grafen til en slik funksjon er alltid en linje. Dessverre fungerer denne metoden ikke i rommet, for med en lineær funksjon kan du ikke angi den tredje dimensjonen. I planet er det imidlertid enklest å beskrive en hvilken som helst linje som ikke er parallell med y-aksen, med en lineær funksjon. Hvis du har en gitt funksjon, kan du sikkert lett tegne linjen, men motsatt vei kan det bli vanskeligere. La oss derfor si at vi har tegnet en slik linje:

Funksjonsuttrykket for en lineær funksjon ser slik ut: y = ax + b. Først finner vi b, konstantleddet. Det er enklest å finne det ved å lese av grafen hvor linjen skjærer y-aksen, altså når x er lik null. Vi ser at det er to, så b = 2. Grunnen er at når ax er lik null, er den eneste måten å få to som y i uttrykket y = ax + b at konstantleddet er lik to.

Nå må vi finne ut hva a er lik. Det blir lettere hvis vi for et øyeblikk fjerner konstantleddet og antar at det er null. Linjen flytter seg da til origo i koordinatsystemet, og vi finner lettere a:

Vi ser tydelig at for x = 6 er y lik 2. Denne opplysningen setter vi inn i funksjonsuttrykket: 6a + 0 = 2. Herfra regner vi lett ut at $a=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Nå har vi funnet verdien av a, og vi kan skrive hele funksjonsuttrykket, og dermed likningen for linjen: y=1/3x+2.

$$y=\frac{x}{3}+2$$

Hvordan linjer kan ligge i forhold til hverandre

To linjer i planet kan ligge i forhold til hverandre på flere ulike måter. La oss begynne med de ulike posisjonene i planet.

Hvis du har to linjer som ligger oppå hverandre og faller sammen til én – de skjærer hverandre i alle punkter – kaller vi linjene sammenfallende. Hvis linjene skjærer hverandre i ett eneste punkt, kaller vi dem linjer som skjærer hverandre. Hvis linjene ikke skjærer hverandre i noe punkt, kaller vi dem parallelle linjer. Parallelle linjer markerer vi vanligvis med to slike korte streker på hver linje, se den siste figuren. Følgende figurer viser det oversiktlig:

Hvordan du finner den innbyrdes beliggenheten til to linjer, kan du lese i en egen artikkel i delen om analytisk geometri. I samme kategori finner du også framgangsmåten for å finne den generelle likningen for en linje, parameterframstillingen for en linje eller linjens likning y = ax + b.