Gerade

Die Gerade ist das zweiteinfachste geometrische Gebilde und ist eindimensional (sie hat sozusagen nur eine Länge). Eine Gerade ist, einfach gesagt, eine unendlich lange gerade Linie, die weder ein Ende noch einen Anfang hat.

Grundlegende Eigenschaften

Eine Gerade wird üblicherweise mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet, zum Beispiel a. Eine Gerade wird üblicherweise durch zwei Punkte festgelegt, denn durch je zwei Punkte lässt sich genau eine Gerade legen. Es gibt auch den Strahl, der einer Geraden ähnlich ist, nur mit dem Unterschied, dass er einen Anfangspunkt hat (aber immer noch kein Ende). Zum Beispiel bestehen die Schenkel von Winkeln aus Strahlen.

Darstellung einer Geraden in der Ebene

In der Ebene können wir eine Gerade mithilfe einer linearen Funktion darstellen, deren Graph immer eine Gerade ist. Leider versagt diese Methode im Raum, denn mit einer linearen Funktion kann man keine dritte Dimension festlegen. In der Ebene ist die Darstellung durch eine lineare Funktion jedoch der einfachste Weg, jede beliebige Gerade zu beschreiben, die nicht parallel zur y-Achse ist. Wenn du die Funktion gegeben hast, kannst du daraus sicher leicht die Gerade zeichnen, umgekehrt kann es aber schon ein Problem sein. Nehmen wir also an, wir haben eine solche Gerade gezeichnet:

Die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion sieht so aus: y = mx + b. Zuerst bestimmen wir b, den y-Achsenabschnitt (das absolute Glied). Am einfachsten lesen wir es aus dem Graphen ab, indem wir schauen, wo die Gerade die y-Achse schneidet, also wo der Wert von x gleich null ist. Wir sehen, dass es die Zwei ist, also ist b = 2. Das liegt daran, dass wir, wenn mx gleich null ist, für y in der Vorschrift y = mx + b die Zwei nur dann erhalten, wenn der y-Achsenabschnitt gleich zwei ist.

Jetzt müssen wir herausfinden, was m ist. Nun ist es bequemer, wenn wir den y-Achsenabschnitt kurz weglassen und annehmen, dass es null ist. Die Gerade verschiebt sich dann in den Ursprung des Koordinatensystems, und wir können m leichter bestimmen:

Wir sehen deutlich, dass y an der Stelle x = 6 den Wert 2 hat. Diese Information setzen wir in die Funktionsvorschrift ein: 6m + 0 = 2. Daraus berechnen wir leicht, dass $m=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Nun kennen wir den Wert von m und können die gesamte Funktionsvorschrift und damit die Gleichung der Geraden aufschreiben: y=1/3x+2.

$$y=\frac{x}{3}+2$$

Gegenseitige Lage von Geraden

Zwei Geraden in der Ebene können verschiedene gegenseitige Lagen haben. Beginnen wir also mit den gegenseitigen Lagen in der Ebene.

Wenn du zwei Geraden hast, die aufeinander liegen und zu einer verschmelzen – sie schneiden sich in allen Punkten –, heißen die Geraden identisch. Wenn sich die Geraden in genau einem Punkt schneiden, heißen sie sich schneidende Geraden. Wenn sich die Geraden in keinem Punkt schneiden, heißen sie parallele Geraden. Parallele Geraden kennzeichnet man üblicherweise mit zwei kurzen Strichen auf jeder Geraden, siehe die letzte Abbildung. Die folgenden Abbildungen fassen das übersichtlich zusammen:

Wie du die gegenseitige Lage von Geraden bestimmst, erfährst du in einem eigenen Artikel im Bereich analytische Geometrie. In derselben Kategorie findest du auch die Vorgehensweise, wie man die allgemeine Geradengleichung, die Parameterform der Geraden oder die Normalform der Geradengleichung bestimmt.