Aire d’un polygone régulier

Un polygone régulier, c’est par exemple le carré : un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles ont la même mesure. Voici par exemple un octogone régulier :

Comment calculer l’aire d’un tel octogone régulier si nous connaissons la longueur de son côté ? Prenons par exemple un côté de longueur a = 10. Pour nous aider, nous partageons l’octogone en huit triangles égaux :

Cela simplifie le travail : il nous suffit maintenant de calculer l’aire de l’un des triangles et de la multiplier par huit pour obtenir l’aire de l’octogone entier. Que savons-nous de ces triangles ? Ce sont des triangles isocèles : les deux côtés qui partent du centre O ont toujours la même longueur, et le côté de l’octogone a une longueur différente (seul l’hexagone se partage en triangles dont les trois côtés sont égaux). Ainsi, la longueur du côté [FO] est la même que celle du côté [EO].

Quel angle forment-ils au sommet O ? Autrement dit, quelle est la mesure de l’angle $\widehat{FOE}$ ? Nous voyons que tous les triangles sont égaux, donc tous les angles au sommet O ont la même mesure. De plus, nous savons que la somme de tous ces angles vaut 360 degrés, un tour complet. L’angle $\widehat{FOE}$ mesure donc 360 divisé par le nombre d’angles, c’est-à-dire par le nombre de triangles.

$$\widehat{FOE}=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180° et que le triangle est isocèle, les deux autres angles sont égaux et mesurent chacun 67,5° :

Comment calculer maintenant l’aire d’un triangle isocèle ? Nous connaissons la longueur du côté [FE] par l’énoncé : FE = 10. Traçons maintenant la hauteur du triangle issue du point O :

Ce segment [OP_s] a partagé le triangle en deux triangles plus petits, qui sont de nouveau égaux : ils sont simplement symétriques l’un de l’autre. Réarrangeons un peu ces triangles. Prenons le triangle FOP_s et déplaçons-le de façon à former un rectangle :

Ce rectangle OF₁EP_s a la même aire que notre triangle FOE. Or l’aire du rectangle est le produit des longueurs de deux de ses côtés :

$${\mathcal{A}}_{◻}=h_s\cdot P_{s}E$$

Nous connaissons la longueur du segment [P_sE] : c’est la moitié du côté [FE], qui mesure (d’après l’énoncé, c’est un côté de l’octogone) FE = 10. Le segment [P_sE] mesure donc P_sE = 5. C’est plus difficile pour la hauteur h_s. Comme le triangle P_sOE est un triangle rectangle, nous pouvons utiliser les fonctions trigonométriques. L’angle $\widehat{P_{s}OE}$ mesure la moitié de l’angle d’origine $\widehat{FOE}$, donc

$$\widehat{P_{s}OE}=\frac{\widehat{FOE}}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Nous utilisons maintenant le fait que la cotangente d’un angle est égale au rapport de la longueur du côté adjacent à celle du côté opposé. Pour plus de clarté, notons l’angle $\widehat{P_{s}OE}$ avec la lettre grecque α :

$$\cot \alpha =\frac{h_s}{P_{s}E}$$

De cette équation, nous voulons tirer h_s ; nous multiplions donc toute l’équation par P_sE et nous obtenons :

$$\cot \alpha \cdot P_{s}E=h_s$$

Nous savons maintenant à quoi la hauteur est égale. Remplaçons par les valeurs :

$$\begin{array}{rcl}{h}_s& =& \cot \alpha \cdot P_{s}E\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

La hauteur mesure environ 12. L’aire du rectangle, et donc celle du triangle, est égale à

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=h_s\cdot P_{s}E$$

Après remplacement, nous obtenons :

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

L’aire d’un triangle est égale à environ 60. Comme nous avons huit triangles au total, l’aire d’un octogone régulier de côté a = 10 est égale à environ

$$\mathcal{A}=8\cdot {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=480$$

Comment en tirer la formule ? Pour un polygone régulier à n côtés de longueur a, on aurait

$$\mathcal{A}=n\cdot {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}$$

Il nous reste la formule générale pour ${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}$ :

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

L’angle α est la moitié de l’angle sous lequel le triangle est vu depuis le centre O, donc

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Remplaçons dans la formule :

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Et simplifions un peu :

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Il ne reste plus qu’à multiplier cette valeur par le nombre n de côtés du polygone, et nous avons la formule finale :

$$\mathcal{A}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

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