Aria unui poligon regulat

Un poligon regulat este, de exemplu, pătratul – un poligon care are toate laturile de aceeași lungime și toate unghiurile de aceeași măsură. Iată cum arată un octogon regulat:

Cum am calcula aria unui astfel de octogon regulat, dacă știm lungimea laturii sale? Să luăm un exemplu: fie lungimea laturii a = 10. Ne ajutăm împărțind octogonul în opt triunghiuri congruente:

Astfel ne-am ușurat munca – acum este suficient să calculăm aria unuia dintre triunghiuri și să înmulțim această arie cu opt, obținând aria întregului octogon. Ce știm despre aceste triunghiuri? Sunt triunghiuri isoscele – lungimile celor două laturi care pornesc din centrul O sunt mereu egale, iar lungimea laturii octogonului este diferită (doar hexagonul îl putem împărți în triunghiuri care au toate laturile egale). Deci lungimea laturii FO este egală cu lungimea laturii EO.

Ce unghi formează acestea în vârful O? Adică, de exemplu, cât măsoară unghiul ∠FOE? Vedem că toate triunghiurile sunt la fel, deci toate unghiurile din vârful O trebuie să aibă aceeași măsură. În același timp știm că, dacă adunăm măsurile tuturor acestor unghiuri, obținem 360 de grade – un unghi plin. Măsura unghiului ∠FOE trebuie deci să fie egală cu 360 împărțit la numărul unghiurilor, adică la numărul triunghiurilor.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Deoarece suma tuturor unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180° și deoarece avem un triunghi isoscel, celelalte două unghiuri trebuie să aibă aceeași măsură, 67,5°:

Cum calculăm acum aria triunghiului isoscel? Lungimea laturii FE o știm din enunț: |FE| = 10. Construim acum înălțimea triunghiului care trece prin punctul O:

Segmentul OH a împărțit triunghiul în alte două triunghiuri mai mici, care sunt însă din nou la fel – doar că sunt întoarse ca într-o oglindă. Să rearanjăm puțin triunghiurile. Luăm triunghiul FOH și îl mutăm astfel încât figura să formeze un dreptunghi:

Acest dreptunghi OF₁EH are aceeași arie ca triunghiul nostru FOE. Iar aria dreptunghiului o calculăm ca produsul lungimilor a două laturi ale sale:

$${\mathcal{A}}_{◻}=|h_s|\cdot |HE|$$

Lungimea segmentului HE o cunoaștem: este jumătate din lungimea laturii FE, iar aceasta are lungimea (conform enunțului – este latura octogonului) |FE| = 10. Segmentul HE are deci lungimea |HE| = 5. Mai complicat este cu înălțimea h_s (care este de fapt apotema octogonului, adică distanța de la centru la latură). Deoarece triunghiul HOE este triunghi dreptunghic, putem folosi funcțiile trigonometrice. Unghiul ∠HOE are măsura jumătate din cea a unghiului inițial ∠FOE, deci

$$\mathrm{\angle }HOE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Acum folosim faptul că cotangenta unui unghi este egală cu raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea catetei opuse. Pentru claritate, notăm unghiul ∠HOE cu litera greacă α:

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{|h_s|}{|HE|}$$

Din această ecuație vrem să aflăm |h_s|, așa că înmulțim întreaga ecuație cu |HE| și obținem:

$$\mathrm{ctg}\alpha \cdot |HE|=|h_s|$$

Acum știm cu ce este egală înălțimea. Înlocuim valorile:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \mathrm{ctg}\alpha \cdot |HE|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Înălțimea are lungimea de aproximativ 12. Aria dreptunghiului, deci și a triunghiului, este egală cu

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |HE|$$

După înlocuire avem:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Aria unui triunghi este aproximativ 60. Deoarece avem în total opt triunghiuri, aria octogonului regulat cu latura a = 10 este aproximativ

$$\mathcal{A}=8\cdot {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=480$$

Cum ajungem la formulă? Pentru un poligon cu n laturi, cu latura de lungime a, ar fi valabil

$$\mathcal{A}=n\cdot {\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}$$

Ne rămâne formula generală pentru ${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}$:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{ctg}\alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Unghiul α este jumătate din măsura unghiului pe care îl formează triunghiul în centrul O, adică

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Înlocuim înapoi:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{ctg}\frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Și simplificăm puțin:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \mathrm{ctg}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

În ultimul pas înmulțim această valoare cu numărul laturilor poligonului cu n laturi și obținem formula finală:

$$\mathcal{A}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \mathrm{ctg}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Calculator: calculează aria poligonului regulat