Areal af en regulær mangekant

En regulær mangekant er for eksempel et kvadrat — det er en mangekant, hvor alle sider er lige lange og alle vinkler lige store. Sådan ser for eksempel en regulær ottekant ud:

Hvordan ville vi beregne arealet af sådan en regulær ottekant, hvis vi kender længden af dens side? Lad os som eksempel sige, at siden har længden a = 10. Vi hjælper os selv ved at dele ottekanten i otte kongruente trekanter:

Dermed har vi gjort arbejdet lettere — nu er det nok at beregne arealet af én af trekanterne og gange det med otte, så får vi arealet af hele ottekanten. Hvad ved vi om disse trekanter? Det er ligebenede trekanter — længderne af de to sider, der går ud fra centrum M, er altid ens, og længden af ottekantens side er en anden (kun en sekskant kan deles i trekanter, hvor alle sider er lige lange). Længden af siden FM er altså den samme som længden af siden EM.

Hvilken vinkel danner de i hjørnet M? Det vil sige, hvor stor er for eksempel vinklen ∠FME? Vi ser, at alle trekanter er ens, og alle vinkler i hjørnet M må derfor have samme størrelse. Samtidig ved vi, at når vi lægger størrelserne af alle disse vinkler sammen, får vi 360 grader — en hel omgang. Størrelsen af vinklen ∠FME må altså være lig med 360 divideret med antallet af vinkler, altså divideret med antallet af trekanter.

$$\mathrm{\angle }FME=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Fordi summen af alle indre vinkler i en trekant er lig med 180°, og fordi vi har en ligebenet trekant, må de to resterende vinkler have samme størrelse, nemlig 67,5°:

Hvordan beregner vi nu arealet af den ligebenede trekant? Længden af siden FE kender vi fra opgaveteksten, den er |FE| = 10. Vi tegner nu trekantens højde, som går gennem punktet M:

Dette linjestykke MP_s har delt trekanten i to mindre trekanter, som imidlertid igen er ens — de er bare spejlvendt. Lad os omarrangere trekanterne lidt. Vi tager trekanten FMP_s og flytter den, så figuren danner et rektangel:

Dette rektangel MF₁EP_s har samme areal som vores trekant FME. Arealet af et rektangel beregner vi som produktet af længderne af dets to sider:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Længden af linjestykket P_sE kender vi, den er halvdelen af længden af siden FE, og den har længden (ifølge opgaven — det er ottekantens side) |FE| = 10. Linjestykket P_sE har altså længden |P_sE| = 5. Værre er det med højden h_s. Fordi trekanten P_sME er en retvinklet trekant, kan vi bruge trigonometriske funktioner. Vinklen ∠P_sME er halvt så stor som den oprindelige vinkel ∠FME, altså

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}ME=\frac{\mathrm{\angle }FME}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Nu bruger vi, at cotangens til en vinkel er lig med forholdet mellem længden af den hosliggende katete og længden af den modstående katete. For overskuelighedens skyld betegner vi vinklen ∠P_sME med det græske bogstav α:

$$\cot (\alpha )=\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

Vi skal bruge |h_s| fra denne ligning, så vi ganger hele ligningen med |P_sE|, og så får vi:

$$\cot (\alpha )\cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

Nu ved vi, hvad højden er lig med. Vi indsætter værdierne:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \cot (\alpha )\cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Højden har længden cirka 12. Rektanglets og dermed også trekantens areal er lig med

$$T=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Efter indsættelse har vi:

$$T=12\cdot 5=60$$

Arealet af én trekant er lig med cirka 60. Fordi vi har otte trekanter i alt, er arealet af den regulære ottekant med sidelængden a = 10 lig med cirka

$$A=8\cdot T=480$$

Hvordan får vi en formel ud af det? For en vilkårlig regulær n-kant med sidelængden a ville der gælde

$$A=n\cdot T$$

Og tilbage er den generelle formel for T:

$$T=\frac{a}{2}\cdot \cot (\alpha )\cdot \frac{a}{2}$$

Vinklen α er halvdelen af den vinkel, som trekanten danner i centrum M, altså

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Vi indsætter det i formlen:

$$T=\frac{a}{2}\cdot \cot \left(\frac{{180}^{\circ }}{n}\right)\cdot \frac{a}{2}$$

Og så rydder vi lidt op:

$$T=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \left(\frac{{180}^{\circ }}{n}\right)$$

I det sidste trin ganger vi bare denne værdi med antallet af sider i n-kanten, og så har vi den endelige formel:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \left(\frac{{180}^{\circ }}{n}\right)$$

Beregner: beregn arealet af en regulær n-kant