Oppervlakte van een regelmatige n-hoek

Een regelmatige veelhoek is bijvoorbeeld een vierkant — het is een veelhoek met allemaal even lange zijden en allemaal even grote hoeken. Zo ziet bijvoorbeeld een regelmatige achthoek eruit:

Hoe berekenen we de oppervlakte van zo'n regelmatige achthoek als we de lengte van zijn zijde kennen? Stel bijvoorbeeld dat de zijde lengte a = 10 heeft. We helpen onszelf door de achthoek in acht congruente driehoeken te verdelen:

Daarmee hebben we ons werk vereenvoudigd — nu hoeven we alleen de oppervlakte van één van de driehoeken te berekenen en die oppervlakte met acht te vermenigvuldigen om de oppervlakte van de hele achthoek te krijgen. Wat weten we van deze driehoeken? Het zijn gelijkbenige driehoeken — de lengtes van de twee zijden die vanuit het middelpunt M lopen zijn altijd gelijk en de lengte van de zijde van de achthoek is anders (alleen een zeshoek kunnen we verdelen in driehoeken waarvan alle zijden even lang zijn). Dus de lengte van zijde FM is gelijk aan de lengte van zijde EM.

Welke hoek sluiten ze in bij hoekpunt M? Dus hoe groot is bijvoorbeeld hoek ∠FME? We zien dat alle driehoeken gelijk zijn en dat alle hoeken bij hoekpunt M dus even groot moeten zijn. Tegelijk weten we dat als we de groottes van al deze hoeken optellen, we 360 graden krijgen — één volledige draai. De grootte van hoek ∠FME moet dus gelijk zijn aan 360 gedeeld door het aantal hoeken, dus gedeeld door het aantal driehoeken.

$$\mathrm{\angle }FME=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Omdat de som van alle hoeken in een driehoek gelijk is aan 180°, en omdat we een gelijkbenige driehoek hebben, moeten de overige twee hoeken even groot zijn, namelijk 67,5°:

Hoe berekenen we nu de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek? De lengte van zijde FE kennen we uit de opgave, die is |FE| = 10. We tekenen nu de hoogtelijn van de driehoek die door punt M gaat:

Dit lijnstuk MP_s heeft de driehoek in twee kleinere driehoeken verdeeld, die echter ook weer gelijk zijn — ze zijn alleen gespiegeld. Laten we de driehoeken een beetje verschuiven. We nemen driehoek FMP_s en verplaatsen die zo dat de figuur een rechthoek vormt:

Deze rechthoek MF₁EP_s heeft dezelfde oppervlakte als onze driehoek FME. De oppervlakte van een rechthoek berekenen we daarbij als het product van de lengtes van twee zijden:

$${\text{opp.}}_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

De lengte van lijnstuk P_sE kennen we, die is de helft van de lengte van zijde FE, en die heeft lengte (volgens de opgave — het is de zijde van de achthoek) |FE| = 10. Lijnstuk P_sE heeft dus lengte |P_sE| = 5. Lastiger is het met de hoogte h_s. Omdat driehoek P_sME een rechthoekige driehoek is, kunnen we goniometrische functies gebruiken. Hoek ∠P_sME is half zo groot als de oorspronkelijke hoek ∠FME, dus

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}ME=\frac{\mathrm{\angle }FME}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Nu gebruiken we het feit dat de tangens van een hoek gelijk is aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende rechthoekszijde. Voor het overzicht geven we hoek ∠P_sME de Griekse letter α:

$$\tan \alpha =\frac{|P_{s}E|}{|h_s|}$$

Uit deze vergelijking moeten we |h_s| halen, dus we vermenigvuldigen de hele vergelijking met |h_s| en delen die door tan α, waarmee we krijgen:

$$|h_s|=\frac{|P_{s}E|}{\tan \alpha }$$

Nu weten we wat de hoogte is. We vullen de waarden in:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \frac{|P_{s}E|}{\tan \alpha }\\ & \approx & \frac{5}{\mathrm{0,414}2}\\ & \approx & 12\end{array}$$

De hoogte heeft een lengte van ongeveer 12. De oppervlakte van de rechthoek, en dus ook van de driehoek, is gelijk aan

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Na invullen krijgen we:

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

De oppervlakte van één driehoek is dus ongeveer 60. Omdat we in totaal acht driehoeken hebben, is de oppervlakte van de regelmatige achthoek met zijde a = 10 ongeveer gelijk aan

$$\text{opp.}=8\cdot {\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=480$$

Hoe krijgen we hieruit een formule? Voor een algemene n-hoek met zijde a zou gelden

$$\text{opp.}=n\cdot {\text{opp.}}_{\mathrm{△}}$$

En we hebben nog de algemene formule voor ${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}$ nodig:

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \frac{1}{\tan \alpha }\cdot \frac{a}{2}$$

Hoek α is de helft van de grootte van de hoek die de driehoek bij middelpunt M insluit, dus

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

We vullen dat terug in:

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}\cdot \frac{a}{2}$$

En dan nog een beetje opruimen:

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}$$

In de laatste stap vermenigvuldigen we deze waarde nog met het aantal zijden van de n-hoek en we hebben de uiteindelijke formule:

$$\text{opp.}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}$$

Rekenmachine: bereken zelf de oppervlakte van een regelmatige n-hoek