Area av en regelbunden månghörning

En regelbunden månghörning är till exempel en kvadrat — en månghörning där alla sidor är lika långa och alla vinklar lika stora. Så här ser en regelbunden åttahörning ut:

Hur skulle vi beräkna arean av en sådan regelbunden åttahörning om vi känner längden på dess sida? Säg att sidan har längden a = 10. Vi gör det enklare för oss genom att dela åttahörningen i åtta kongruenta trianglar:

Därmed har vi förenklat arbetet — nu räcker det att beräkna arean av en av trianglarna och multiplicera den med åtta, så får vi arean av hela åttahörningen. Vad vet vi om trianglarna? De är likbenta trianglar — de två sidor som går från medelpunkten O är alltid lika långa, och åttahörningens sida har en annan längd (bara en sexhörning kan vi dela i trianglar där alla sidor är lika långa). Sidan FO är alltså lika lång som sidan EO.

Vilken vinkel bildar de vid spetsen O? Alltså, hur stor är till exempel vinkeln ∠FOE? Vi ser att alla trianglar är likadana, så alla vinklar vid spetsen O måste vara lika stora. Samtidigt vet vi att summan av alla dessa vinklar är 360 grader — ett helt varv. Vinkeln ∠FOE måste alltså vara 360 delat med antalet vinklar, det vill säga med antalet trianglar.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180°, och eftersom vår triangel är likbent, måste de två övriga vinklarna vara lika stora, 67,5°:

Hur beräknar vi nu arean av en likbent triangel? Längden på sidan FE känner vi från uppgiften, det är |FE| = 10. Vi ritar nu triangelns höjd, som går genom punkten O:

Sträckan OP_s har delat triangeln i två mindre trianglar, som återigen är likadana — de är bara spegelvända. Låt oss flytta om trianglarna lite. Vi tar triangeln FOP_s och flyttar den så att figuren bildar en rektangel:

Rektangeln OF₁EP_s har samma area som vår triangel FOE. Arean av en rektangel beräknar vi som produkten av längderna på två av dess sidor:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Längden på sträckan P_sE känner vi, den är hälften av längden på sidan FE, och den har (enligt uppgiften — det är åttahörningens sida) längden |FE| = 10. Sträckan P_sE har alltså längden |P_sE| = 5. Höjden h_s är svårare. Eftersom triangeln P_sOE är rätvinklig kan vi använda trigonometriska funktioner. Vinkeln ∠P_sOE är hälften så stor som den ursprungliga vinkeln ∠FOE, alltså

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Nu utnyttjar vi att tangens för en vinkel är kvoten mellan den motstående och den närliggande katetens längd. För överskådlighetens skull betecknar vi vinkeln ∠P_sOE med den grekiska bokstaven α:

$$\tan \alpha =\frac{|P_{s}E|}{|h_s|}$$

Ur den här ekvationen behöver vi ta reda på |h_s|, så vi multiplicerar hela ekvationen med |h_s| och dividerar den med tan α, och får:

$$|h_s|=\frac{|P_{s}E|}{\tan \alpha }$$

Nu vet vi vad höjden är lika med. Vi sätter in värdena:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \frac{|P_{s}E|}{\tan \alpha }\\ & \approx & \frac{5}{\mathrm{0,414}}\\ & \approx & 12\end{array}$$

Höjden är ungefär 12. Arean av rektangeln, och därmed av triangeln, är

$$A_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Vi sätter in:

$$A_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Arean av en av trianglarna är ungefär 60. Eftersom vi har åtta trianglar sammanlagt är arean av en regelbunden åttahörning med sidlängden a = 10 ungefär

$$A=8\cdot A_{\mathrm{△}}=480$$

Hur får vi fram en formel av detta? För en allmän n-hörning med sidlängden a skulle det gälla att

$$A=n\cdot A_{\mathrm{△}}$$

Och det som återstår är den allmänna formeln för $A_{\mathrm{△}}$:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \frac{1}{\tan \alpha }\cdot \frac{a}{2}$$

Vinkeln α är hälften av den vinkel som triangeln bildar vid medelpunkten O, alltså

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Nu sätter vi in vinkeln i formeln:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}\cdot \frac{a}{2}$$

Och förenklar lite:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}$$

I sista steget multiplicerar vi bara värdet med antalet sidor i n-hörningen, och då har vi den färdiga formeln:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}$$

Miniräknare: beräkna arean av en regelbunden n-hörning