Düzgün Çokgenin Alanı

Düzgün çokgene örnek olarak kare verilebilir — tüm kenarları eşit uzunlukta, tüm açıları eşit ölçüde olan çokgendir. Örneğin düzgün sekizgen şöyle görünür:

Kenar uzunluğunu biliyorsak böyle bir düzgün sekizgenin alanını nasıl hesaplarız? Örnek olarak kenar uzunluğunun a = 10 olduğunu varsayalım. Sekizgeni sekiz eş üçgene bölerek işimizi kolaylaştıracağız:

İşimiz böylece basitleşti — şimdi üçgenlerden birinin alanını hesaplayıp bunu 8 ile çarparsak tüm sekizgenin alanını buluruz. Bu üçgenler hakkında ne biliyoruz? Hepsi ikizkenar üçgendir — O merkezinden çıkan iki kenarın uzunluğu her zaman eşittir, sekizgenin kenarının uzunluğu ise bunlardan farklıdır (yalnızca altıgeni, üç kenarı da eşit uzunlukta olan üçgenlere bölebiliriz). Yani FO kenarının uzunluğu EO kenarının uzunluğuna eşittir.

Bu üçgenlerin O köşesindeki açısı kaç derecedir? Örneğin ∠FOE açısı kaçtır? Tüm üçgenler eş olduğundan O köşesindeki bütün açıların ölçüsü de eş olmalıdır. Ayrıca bu açıların ölçüleri toplamı 360 derecedir — yani tam bir tur. Demek ki ∠FOE açısının ölçüsü 360’ın açı sayısına, yani üçgen sayısına bölümüne eşittir.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° olduğundan ve elimizdeki üçgen ikizkenar olduğundan, kalan iki açının ölçüsü eşittir ve 67,5° olur:

İkizkenar üçgenin alanını şimdi nasıl hesaplarız? FE kenarının uzunluğunu verilenlerden biliyoruz: |FE| = 10. Şimdi O noktasından geçen yüksekliği çizelim:

OP_s doğru parçası üçgeni iki küçük üçgene böldü; bunlar yine eştir — yalnızca ayna görüntüsü gibi ters durmaktadırlar. Üçgenleri biraz yeniden düzenleyelim. FOP_s üçgenini, şekil bir dikdörtgen oluşturacak biçimde taşıyalım:

OF₁EP_s dikdörtgeninin alanı FOE üçgeninin alanına eşittir. Dikdörtgenin alanını ise iki kenarının uzunluklarının çarpımı olarak hesaplarız:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

P_sE doğru parçasının uzunluğunu biliyoruz: FE kenarının yarısıdır, FE kenarı da (verilenlere göre — sekizgenin kenarıdır) |FE| = 10 uzunluğundadır. Yani |P_sE| = 5. Yükseklik h_s ise daha zordur. P_sOE üçgeni bir dik üçgen olduğundan trigonometrik fonksiyonlardan yararlanabiliriz. ∠P_sOE açısı, ilk ∠FOE açısının yarısıdır, yani

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Şimdi bir açının kotanjantının komşu dik kenarın karşı dik kenara oranına eşit olduğunu kullanacağız. Daha rahat anlaşılması için ∠P_sOE açısını Yunan harfi α ile gösterelim:

$$\cot \alpha =\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

Bu denklemden |h_s| değerini bulmamız gerekiyor, bu yüzden denklemin her iki tarafını |P_sE| ile çarpıyoruz:

$$\cot \alpha \cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

Artık yüksekliğin neye eşit olduğunu biliyoruz. Değerleri yerine yazalım:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \cot \alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Yüksekliğin uzunluğu yaklaşık 12’dir. Dikdörtgenin, dolayısıyla üçgenin alanı şuna eşittir:

$$A_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Yerine yazınca

$$A_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

buluruz. Bir üçgenin alanı yaklaşık 60’tır. Toplam sekiz üçgenimiz olduğundan kenar uzunluğu a = 10 olan düzgün sekizgenin alanı yaklaşık

$$A=8\cdot A_{\mathrm{△}}=480$$

olur.

Bundan formülü nasıl elde ederiz? Kenar uzunluğu a olan genel bir n kenarlı düzgün çokgen için

$$A=n\cdot A_{\mathrm{△}}$$

olurdu. Geriye $A_{\mathrm{△}}$ için genel formül kalıyor:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

α açısı, üçgenin merkezdeki O köşesinde oluşturduğu açının yarısıdır, yani

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Bunu geri yerine yazalım:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Biraz da sadeleştirelim:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Son adımda bu değeri n kenarlı çokgendeki kenar sayısıyla çarparız ve sonuç formülünü elde ederiz:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Hesap Makinesi: Düzgün n Kenarlı Çokgenin Alanını Hesapla