Εμβαδόν κανονικού πολυγώνου

Κανονικό πολύγωνο είναι για παράδειγμα το τετράγωνο – πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. Έτσι μοιάζει, για παράδειγμα, ένα κανονικό οκτάγωνο:

Πώς θα υπολογίζαμε το εμβαδόν ενός τέτοιου κανονικού οκταγώνου, αν γνωρίζουμε το μήκος της πλευράς του; Για παράδειγμα, ας πούμε ότι η πλευρά έχει μήκος a = 10. Για να διευκολυνθούμε, χωρίζουμε το οκτάγωνο σε οκτώ ίσα τρίγωνα:

Έτσι απλοποιήσαμε τη δουλειά – τώρα αρκεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός από τα τρίγωνα και να το πολλαπλασιάσουμε επί οκτώ, οπότε παίρνουμε το εμβαδόν ολόκληρου του οκταγώνου. Τι ξέρουμε για αυτά τα τρίγωνα; Είναι ισοσκελή τρίγωνα – τα μήκη των δύο πλευρών που ξεκινούν από το κέντρο O είναι πάντα ίσα, ενώ το μήκος της πλευράς του οκταγώνου είναι διαφορετικό (μόνο το εξάγωνο μπορούμε να το χωρίσουμε σε τρίγωνα που έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες). Άρα το μήκος της πλευράς FO είναι ίσο με το μήκος της πλευράς EO.

Ποια γωνία σχηματίζουν στην κορυφή O; Δηλαδή, ποια είναι για παράδειγμα η γωνία ∠FOE; Βλέπουμε ότι όλα τα τρίγωνα είναι ίσα, και επομένως όλες οι γωνίες στην κορυφή O πρέπει να έχουν το ίδιο μέτρο. Ταυτόχρονα ξέρουμε ότι, όταν προσθέσουμε τα μέτρα όλων αυτών των γωνιών, παίρνουμε 360 μοίρες – μία πλήρη στροφή. Το μέτρο της γωνίας ∠FOE πρέπει λοιπόν να είναι ίσο με 360 διά τον αριθμό των γωνιών, δηλαδή διά τον αριθμό των τριγώνων.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Επειδή το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180° και επειδή έχουμε ισοσκελές τρίγωνο, πρέπει οι υπόλοιπες δύο γωνίες να έχουν το ίδιο μέτρο 67,5°:

Πώς θα υπολογίσουμε τώρα το εμβαδόν του ισοσκελούς τριγώνου; Το μήκος της πλευράς FE το ξέρουμε από την εκφώνηση: |FE| = 10. Φέρνουμε τώρα το ύψος του τριγώνου που περνά από το σημείο O:

Αυτό το ευθύγραμμο τμήμα OM χώρισε το τρίγωνο σε δύο μικρότερα τρίγωνα, τα οποία όμως είναι πάλι ίσα – απλώς είναι συμμετρικά το ένα του άλλου. Ας μετακινήσουμε λίγο τα τρίγωνα. Παίρνουμε το τρίγωνο FOM και το μετακινούμε έτσι, ώστε το σχήμα να γίνει ορθογώνιο:

Αυτό το ορθογώνιο OF₁EM έχει το ίδιο εμβαδόν με το τρίγωνό μας FOE. Το εμβαδόν ορθογωνίου το υπολογίζουμε ως γινόμενο των μηκών των δύο πλευρών του:

$$E_{◻}=|\upsilon |\cdot |ME|$$

Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ME το ξέρουμε, είναι το μισό του μήκους της πλευράς FE, και αυτή έχει μήκος (σύμφωνα με την εκφώνηση – είναι πλευρά του οκταγώνου) |FE| = 10. Το ευθύγραμμο τμήμα ME έχει λοιπόν μήκος |ME| = 5. Πιο δύσκολα είναι τα πράγματα με το ύψος υ. Επειδή το τρίγωνο MOE είναι ορθογώνιο τρίγωνο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η γωνία ∠MOE έχει μισό μέτρο από την αρχική γωνία ∠FOE, δηλαδή

$$\mathrm{\angle }MOE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι η συνεφαπτομένη μιας γωνίας είναι ίση με το λόγο του μήκους της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την απέναντι κάθετη πλευρά. Για καλύτερη εποπτεία συμβολίζουμε τη γωνία ∠MOE με το ελληνικό γράμμα α:

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\alpha =\frac{|\upsilon |}{|ME|}$$

Από αυτή την εξίσωση χρειάζεται να βρούμε το |υ|, οπότε πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την εξίσωση επί |ME| και παίρνουμε:

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\alpha \cdot |ME|=|\upsilon |$$

Τώρα ξέρουμε ποιο είναι το ύψος. Αντικαθιστούμε τις τιμές:

$$\begin{array}{rcl}|\upsilon |& =& \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\alpha \cdot |ME|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Το ύψος έχει μήκος περίπου 12. Το εμβαδόν του ορθογωνίου, και επομένως και του τριγώνου, είναι ίσο με

$$E_{\mathrm{△}}=|\upsilon |\cdot |ME|$$

Μετά την αντικατάσταση έχουμε:

$$E_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι περίπου 60. Επειδή έχουμε συνολικά οκτώ τρίγωνα, το εμβαδόν του κανονικού οκταγώνου με μήκος πλευράς a = 10 είναι περίπου

$$E=8\cdot E_{\mathrm{△}}=480$$

Πώς θα φτάσουμε από εδώ στον τύπο; Για ένα τυχαίο κανονικό ν-γωνο με μήκος πλευράς a θα ίσχυε

$$E=\nu \cdot E_{\mathrm{△}}$$

Μένει να βρούμε τον γενικό τύπο για το $E_{\mathrm{△}}$:

$$E_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Η γωνία α είναι το μισό του μέτρου της γωνίας που σχηματίζει το τρίγωνο στο κέντρο O, δηλαδή

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{\nu \cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{\nu }$$

Αντικαθιστούμε πίσω:

$$E_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\frac{{180}^{\circ }}{\nu }\cdot \frac{a}{2}$$

Και απλοποιούμε λίγο:

$$E_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\frac{{180}^{\circ }}{\nu }$$

Στο τελευταίο βήμα πολλαπλασιάζουμε αυτή την τιμή επί τον αριθμό των πλευρών του ν-γώνου και έχουμε τον τελικό τύπο:

$$E=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \nu \cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\frac{{180}^{\circ }}{\nu }$$

Αριθμομηχανή: υπολόγισε το εμβαδόν κανονικού ν-γώνου