Areal av regulær mangekant

En regulær mangekant er for eksempel et kvadrat – en mangekant som har alle sidene like lange og alle vinklene like store. Slik ser for eksempel en regulær åttekant ut:

Hvordan ville vi regnet ut arealet av en slik regulær åttekant hvis vi kjenner lengden av siden? La oss som eksempel si at siden har lengde a = 10. Vi gjør det enklere for oss ved å dele åttekanten i åtte kongruente trekanter:

Dermed har vi gjort jobben enklere – nå er det nok å regne ut arealet av én av trekantene og gange det med åtte, så får vi arealet av hele åttekanten. Hva vet vi om disse trekantene? De er likebeinte trekanter – de to sidene som går ut fra sentrum S, er alltid like lange, og sidene i åttekanten har en annen lengde (bare sekskanten kan vi dele i trekanter som har alle sidene like lange). Lengden av siden FS er altså den samme som lengden av siden ES.

Hvilken vinkel danner de ved toppunktet S? Altså, hva er for eksempel vinkelen ∠FSE? Vi ser at alle trekantene er like, og alle vinklene ved toppunktet S må derfor ha samme størrelse. Samtidig vet vi at når vi legger sammen størrelsene av alle disse vinklene, får vi 360 grader – en hel omdreining. Størrelsen av vinkelen ∠FSE må altså være 360 delt på antall vinkler, altså delt på antall trekanter.

$$\mathrm{\angle }FSE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Siden summen av alle de indre vinklene i en trekant er 180°, og siden vi har en likebeint trekant, må de to andre vinklene være like store, nemlig 67,5°:

Hvordan regner vi nå ut arealet av den likebeinte trekanten? Lengden av siden FE kjenner vi fra oppgaveteksten, det er |FE| = 10. Nå tegner vi høyden i trekanten som går gjennom punktet S:

Dette linjestykket SP_s deler trekanten i to mindre trekanter, og de er også like – de er bare speilvendt. La oss ordne trekantene litt om. Vi tar trekanten FSP_s og flytter den slik at figuren danner et rektangel:

Dette rektangelet SF₁EP_s har samme areal som trekanten vår FSE. Arealet av et rektangel regner vi ut som produktet av lengdene av to av sidene:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Lengden av linjestykket P_sE kjenner vi, den er halvparten av lengden av siden FE, og den har lengde (ifølge oppgaveteksten – det er en side i åttekanten) |FE| = 10. Linjestykket P_sE har altså lengde |P_sE| = 5. Verre er det med høyden h_s. Siden trekanten P_sSE er en rettvinklet trekant, kan vi bruke trigonometri. Vinkelen ∠P_sSE er halvparten så stor som den opprinnelige vinkelen ∠FSE, altså

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}SE=\frac{\mathrm{\angle }FSE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Nå bruker vi at tangens til en vinkel er forholdet mellom lengden av den motstående og den hosliggende kateten. For oversiktens skyld betegner vi vinkelen ∠P_sSE med den greske bokstaven α:

$$\tan \alpha =\frac{|P_{s}E|}{|h_s|}$$

Fra denne likningen trenger vi å finne |h_s|, så vi multipliserer hele likningen med |h_s| og dividerer den med tangens til vinkelen, og da får vi:

$$|h_s|=\frac{|P_{s}E|}{\tan \alpha }$$

Nå vet vi hva høyden er lik. Vi setter inn verdiene:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \frac{|P_{s}E|}{\tan \alpha }\\ & \approx & \frac{5}{\mathrm{0,414}}\\ & \approx & 12\end{array}$$

Høyden er omtrent 12. Arealet av rektangelet og dermed også av trekanten er lik

$$A_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Når vi setter inn, får vi:

$$A_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Arealet av én trekant er omtrent 60. Siden vi har åtte trekanter til sammen, er arealet av den regulære åttekanten med sidelengde a = 10 omtrent

$$A=8\cdot A_{\mathrm{△}}=480$$

Hvordan får vi en formel ut av dette? For en generell n-kant med sidelengde a ville det gjelde at

$$A=n\cdot A_{\mathrm{△}}$$

Det gjenstår en generell formel for $A_{\mathrm{△}}$:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{\tan \alpha }$$

Vinkelen α er halvparten av vinkelen trekanten danner ved sentrum S, altså

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Vi setter inn tilbake:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}$$

Så rydder vi litt opp:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}$$

I siste trinn ganger vi bare denne verdien med antall sider i n-kanten, og så har vi den endelige formelen:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \frac{1}{\tan \frac{{180}^{\circ }}{n}}$$

Kalkulator: regn ut arealet av en regulær n-kant