Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks

Ein regelmäßiges Vieleck ist zum Beispiel das Quadrat – es ist ein Vieleck, dessen Seiten alle gleich lang und dessen Winkel alle gleich groß sind. So sieht zum Beispiel ein regelmäßiges Achteck aus:

Wie würden wir den Flächeninhalt eines solchen regelmäßigen Achtecks berechnen, wenn wir die Länge seiner Seite kennen? Nehmen wir als Beispiel an, dass die Seite die Länge a = 10 hat. Wir machen es uns leichter, indem wir das Achteck in acht kongruente Dreiecke zerlegen:

Damit haben wir uns die Arbeit vereinfacht – jetzt genügt es, den Flächeninhalt eines der Dreiecke zu berechnen und ihn mit acht zu multiplizieren, so erhalten wir den Flächeninhalt des ganzen Achtecks. Was wissen wir über diese Dreiecke? Es sind gleichschenklige Dreiecke – die Längen der beiden Seiten, die vom Mittelpunkt M ausgehen, sind immer gleich und die Länge der Achteckseite ist eine andere (nur ein Sechseck können wir in Dreiecke zerlegen, bei denen alle Seiten gleich lang sind). Die Länge der Seite FM ist also gleich der Länge der Seite EM.

Welchen Winkel schließen sie am Mittelpunkt M ein? Das heißt, wie groß ist zum Beispiel der Winkel ∠FME? Wir sehen, dass alle Dreiecke gleich sind und alle Winkel am Mittelpunkt M daher dieselbe Größe haben müssen. Zugleich wissen wir, dass wir 360 Grad – eine volle Umdrehung – erhalten, wenn wir die Größen all dieser Winkel addieren. Die Größe des Winkels ∠FME muss also gleich 360 geteilt durch die Anzahl der Winkel sein, also geteilt durch die Anzahl der Dreiecke.

$$\mathrm{\angle }FME=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Weil die Summe aller Innenwinkel im Dreieck gleich 180° ist und weil wir ein gleichschenkliges Dreieck haben, müssen die übrigen beiden Winkel dieselbe Größe 67,5° haben:

Wie berechnen wir nun den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks? Die Länge der Seite FE kennen wir aus der Aufgabenstellung, es ist |FE| = 10. Wir zeichnen jetzt die Höhe des Dreiecks, die durch den Punkt M verläuft:

Diese Strecke MP_s hat das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke zerlegt, die aber wieder gleich sind – sie sind nur spiegelverkehrt. Ordnen wir die Dreiecke ein wenig um. Wir nehmen das Dreieck FMP_s und verschieben es so, dass die Figur ein Rechteck bildet:

Dieses Rechteck MF₁EP_s hat denselben Flächeninhalt wie unser Dreieck FME. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen wir dabei als Produkt der Längen seiner beiden Seiten:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Die Länge der Strecke P_sE kennen wir, sie ist die Hälfte der Länge der Seite FE, und diese hat (laut Aufgabenstellung – es ist die Seite des Achtecks) die Länge |FE| = 10. Die Strecke P_sE hat also die Länge |P_sE| = 5. Schwieriger ist es mit der Höhe h_s. Weil das Dreieck P_sME ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir die trigonometrischen Funktionen verwenden. Der Winkel ∠P_sME hat die halbe Größe des ursprünglichen Winkels ∠FME, also

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}ME=\frac{\mathrm{\angle }FME}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Jetzt nutzen wir die Tatsache, dass der Kotangens eines Winkels gleich dem Verhältnis der Länge der Ankathete zur Gegenkathete ist. Der Übersichtlichkeit halber bezeichnen wir den Winkel ∠P_sME mit dem griechischen Buchstaben α:

$$\cot \alpha =\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

Aus dieser Gleichung brauchen wir |h_s|, also multiplizieren wir die ganze Gleichung mit |P_sE| und erhalten:

$$\cot \alpha \cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

Jetzt wissen wir, wie groß die Höhe ist. Wir setzen die Werte ein:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \cot \alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Die Höhe beträgt ungefähr 12. Der Flächeninhalt des Rechtecks und damit auch des Dreiecks ist gleich

$$A_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:

$$A_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt etwa 60. Weil wir insgesamt acht Dreiecke haben, ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge a = 10 ungefähr gleich

$$A=8\cdot A_{\mathrm{△}}=480$$

Wie kommen wir daraus zur Formel? Für ein allgemeines n-Eck mit der Seitenlänge a würde gelten

$$A=n\cdot A_{\mathrm{△}}$$

Und es fehlt uns noch die allgemeine Formel für $A_{\mathrm{△}}$:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Der Winkel α ist die Hälfte der Größe des Winkels, den das Dreieck am Mittelpunkt M einschließt, also

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Wir setzen rückwärts ein:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Und vereinfachen noch ein bisschen:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Im letzten Schritt multiplizieren wir diesen Wert nur noch mit der Anzahl der Seiten des n-Ecks und haben die gesuchte Formel:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Rechner: Berechne den Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks