Area di un poligono regolare

Un poligono regolare è per esempio il quadrato: è un poligono con tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli della stessa ampiezza. Ecco, per esempio, un ottagono regolare:

Come calcoliamo l’area di un ottagono regolare di questo tipo, se conosciamo la lunghezza del suo lato? Per esempio, supponiamo che il lato abbia lunghezza a = 10. Ci aiutiamo dividendo l’ottagono in otto triangoli congruenti:

Così abbiamo semplificato il lavoro: ora ci basta calcolare l’area di uno dei triangoli e moltiplicarla per otto, ottenendo l’area dell’intero ottagono. Che cosa sappiamo di questi triangoli? Sono triangoli isosceli: i due lati che partono dal centro O hanno sempre la stessa lunghezza, mentre il lato dell’ottagono ha una lunghezza diversa (solo l’esagono si può dividere in triangoli che hanno tutti i lati uguali). Quindi il lato FO ha la stessa lunghezza del lato EO.

Che angolo formano nel vertice O? Cioè, quanto misura per esempio l’angolo ∠FOE? Vediamo che tutti i triangoli sono uguali, quindi tutti gli angoli nel vertice O devono avere la stessa ampiezza. Sappiamo inoltre che, sommando le ampiezze di tutti questi angoli, otteniamo 360 gradi, cioè un giro completo. L’ampiezza dell’angolo ∠FOE deve quindi essere uguale a 360 diviso il numero degli angoli, cioè diviso il numero dei triangoli.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Poiché la somma di tutti gli angoli interni di un triangolo è 180° e il nostro triangolo è isoscele, gli altri due angoli devono avere la stessa ampiezza, pari a 67,5°:

Come calcoliamo ora l’area di un triangolo isoscele? La lunghezza del lato FE la conosciamo dai dati: |FE| = 10. Tracciamo ora l’altezza del triangolo che passa per il punto O:

Questo segmento OP_s ha diviso il triangolo in due triangoli più piccoli, che però sono di nuovo uguali, solo ribaltati come in uno specchio. Riorganizziamo un po’ i triangoli. Prendiamo il triangolo FOP_s e spostiamolo in modo che la figura formi un rettangolo:

Questo rettangolo OF₁EP_s ha la stessa area del nostro triangolo FOE. L’area del rettangolo si calcola come prodotto delle lunghezze di due suoi lati:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

La lunghezza del segmento P_sE la conosciamo: è la metà della lunghezza del lato FE, che (secondo i dati, essendo il lato dell’ottagono) è |FE| = 10. Il segmento P_sE ha quindi lunghezza |P_sE| = 5. Con l’altezza h_s è più difficile. Poiché il triangolo P_sOE è un triangolo rettangolo, possiamo usare le funzioni goniometriche. L’angolo ∠P_sOE ha ampiezza pari alla metà dell’angolo originale ∠FOE, cioè

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Ora sfruttiamo il fatto che la cotangente di un angolo è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente e quella del cateto opposto. Per chiarezza indichiamo l’angolo ∠P_sOE con la lettera greca α:

$$\cot \alpha =\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

Da questa equazione dobbiamo ricavare |h_s|, quindi moltiplichiamo tutta l’equazione per |P_sE| e otteniamo:

$$\cot \alpha \cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

Ora sappiamo a che cosa è uguale l’altezza. Sostituiamo i valori:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \cot \alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

L’altezza è lunga circa 12. L’area del rettangolo, e quindi anche quella del triangolo, è

$$A_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Dopo la sostituzione abbiamo:

$$A_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

L’area di un triangolo è circa 60. Poiché abbiamo otto triangoli in tutto, l’area di un ottagono regolare con il lato di lunghezza a = 10 è circa

$$A=8\cdot A_{\mathrm{△}}=480$$

Come ricaviamo da qui la formula? Per un poligono qualsiasi di n lati, con il lato di lunghezza a, varrebbe

$$A=n\cdot A_{\mathrm{△}}$$

E ci resta la formula generale per $A_{\mathrm{△}}$:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

L’angolo α è la metà dell’angolo che il triangolo forma nel centro O, cioè

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Sostituiamo questo valore nella formula:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

E semplifichiamo un po’:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Nell’ultimo passaggio moltiplichiamo questo valore per il numero dei lati del poligono di n lati e otteniamo la formula finale:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Calcolatore: calcola l’area di un poligono regolare di n lati