Szabályos sokszög területe

A szabályos sokszög például a négyzet – olyan sokszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú. Így néz ki például egy szabályos nyolcszög:

Hogyan számítanánk ki egy ilyen szabályos nyolcszög területét, ha ismerjük az oldalának hosszát? Legyen például az oldal hossza a = 10. Úgy segítünk magunkon, hogy a nyolcszöget nyolc egybevágó háromszögre osztjuk:

Ezzel leegyszerűsítettük a feladatot – elég kiszámítanunk az egyik háromszög területét, és megszorozni nyolccal, így megkapjuk az egész nyolcszög területét. Mit tudunk ezekről a háromszögekről? Egyenlő szárú háromszögek – a középpontból, az O pontból induló két oldaluk mindig egyenlő hosszú, a nyolcszög oldala pedig más hosszúságú (csak a hatszöget lehet olyan háromszögekre osztani, amelyeknek mindhárom oldala egyenlő hosszú). Tehát az FO oldal hossza megegyezik az EO oldal hosszával.

Mekkora szöget zárnak be az O csúcsnál? Például mekkora az ∠FOE szög? Látjuk, hogy az összes háromszög egyforma, ezért az O csúcsnál lévő szögek mind ugyanakkorák. Azt is tudjuk, hogy ha ezeket a szögeket összeadjuk, 360 fokot kapunk – egy teljes fordulatot. Az ∠FOE szög nagysága tehát 360 osztva a szögek számával, vagyis a háromszögek számával.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, és egyenlő szárú háromszögünk van, a másik két szögnek egyenlőnek kell lennie, nagyságuk 67,5°:

Hogyan számítjuk ki most az egyenlő szárú háromszög területét? Az FE oldal hosszát ismerjük a feladatból, |FE| = 10. Rajzoljuk be a háromszög magasságát, amely az O ponton halad át:

Az OP szakasz a háromszöget két kisebb háromszögre osztotta, amelyek azonban megint egybevágók – csak tükrözve vannak. Rendezzük át egy kicsit a háromszögeket. Vegyük az FOP háromszöget, és toljuk el úgy, hogy az alakzat téglalapot alkosson:

Ennek az OF₁EP téglalapnak ugyanakkora a területe, mint az FOE háromszögünknek. A téglalap területét pedig két oldala hosszának szorzataként számítjuk ki:

$$T_{◻}=|m|\cdot |PE|$$

A PE szakasz hosszát ismerjük: az FE oldal fele, az pedig (a feladat szerint – ez a nyolcszög oldala) |FE| = 10. A PE szakasz hossza tehát |PE| = 5. Az m magasság már nehezebb ügy. Mivel a POE háromszög derékszögű háromszög, használhatjuk a szögfüggvényeket. A POE szög fele akkora, mint az eredeti FOE szög, tehát

$$\mathrm{\angle }POE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Most azt használjuk ki, hogy a szög kotangense a melletti befogó és a szemközti befogó hányadosa. Az áttekinthetőség kedvéért a POE szöget jelöljük a görög α betűvel:

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{|m|}{|PE|}$$

Ebből az egyenletből az |m|-et kell kifejeznünk, ezért az egész egyenletet megszorozzuk |PE|-vel, így azt kapjuk, hogy

$$\mathrm{ctg}\alpha \cdot |PE|=|m|$$

Most már tudjuk, mivel egyenlő a magasság. Helyettesítsük be az értékeket:

$$\begin{array}{rcl}|m|& =& \mathrm{ctg}\alpha \cdot |PE|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

A magasság hossza körülbelül 12. A téglalap, tehát a háromszög területe

$$T_{\mathrm{△}}=|m|\cdot |PE|$$

Behelyettesítés után:

$$T_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Egy háromszög területe tehát nagyjából 60. Mivel összesen nyolc háromszögünk van, az a = 10 oldalhosszúságú szabályos nyolcszög területe megközelítőleg

$$T=8\cdot T_{\mathrm{△}}=480$$

Hogyan jutunk el ebből a képlethez? Egy általános, a oldalhosszúságú n-szögre ez lenne érvényes:

$$T=n\cdot T_{\mathrm{△}}$$

Már csak a $T_{\mathrm{△}}$ általános képlete hiányzik:

$$T_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{ctg}\alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Az α szög fele annak a szögnek, amelyet a háromszög az O középpontnál bezár, tehát

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Visszahelyettesítünk:

$$T_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{ctg}\frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

És még egy kicsit egyszerűsítünk:

$$T_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \mathrm{ctg}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Az utolsó lépésben ezt az értéket már csak megszorozzuk az n-szög oldalainak számával, és megkapjuk a végső képletet:

$$T=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \mathrm{ctg}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Számológép: számítsd ki a szabályos n-szög területét