Área de un polígono regular

Un polígono regular es, por ejemplo, el cuadrado: es un polígono con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Así se ve, por ejemplo, un octógono regular:

¿Cómo calcularíamos el área de un octógono regular como este si conocemos la longitud de su lado? Como ejemplo, supongamos que el lado mide a = 10. Nos ayudaremos dividiendo el octógono en ocho triángulos iguales:

Con esto hemos simplificado el trabajo: ahora nos basta con calcular el área de uno de los triángulos y multiplicarla por ocho para obtener el área de todo el octógono. ¿Qué sabemos de estos triángulos? Son triángulos isósceles: los dos lados que parten del centro O tienen siempre la misma longitud, y el lado del octógono tiene otra distinta (solo el hexágono se puede dividir en triángulos con los tres lados iguales). Así, el lado FO tiene la misma longitud que el lado EO.

¿Qué ángulo forman en el vértice O? Es decir, ¿cuánto mide, por ejemplo, el ángulo ∠FOE? Vemos que todos los triángulos son iguales y, por tanto, todos los ángulos en el vértice O deben tener la misma amplitud. Además, sabemos que al sumar las amplitudes de todos estos ángulos obtenemos 360 grados, una vuelta completa. La amplitud del ángulo ∠FOE debe ser, pues, igual a 360 dividido entre el número de ángulos, es decir, entre el número de triángulos.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Como la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es 180°, y como el triángulo es isósceles, los dos ángulos restantes deben tener la misma amplitud, 67,5°:

¿Cómo calculamos ahora el área de un triángulo isósceles? La longitud del lado FE la conocemos por el enunciado: |FE| = 10. Tracemos ahora la altura del triángulo que pasa por el punto O:

Este segmento OP_s ha dividido el triángulo en dos triángulos más pequeños que, de nuevo, son iguales; solo que uno es la imagen especular del otro. Recoloquemos un poco los triángulos. Tomamos el triángulo FOP_s y lo trasladamos de modo que la figura forme un rectángulo:

Este rectángulo OF₁EP_s tiene la misma área que nuestro triángulo FOE. Y el área del rectángulo se calcula como el producto de las longitudes de dos de sus lados:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Conocemos la longitud del segmento P_sE: es la mitad de la longitud del lado FE, que mide (según el enunciado, porque es un lado del octógono) |FE| = 10. El segmento P_sE mide, por tanto, |P_sE| = 5. Con la altura h_s la cosa es más difícil. Como el triángulo P_sOE es un triángulo rectángulo, podemos usar las razones trigonométricas. El ángulo ∠P_sOE tiene la mitad de amplitud que el ángulo original ∠FOE, es decir,

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Ahora usamos que la cotangente de un ángulo es igual a la razón entre la longitud del cateto contiguo y la del cateto opuesto. Para mayor claridad, denotamos el ángulo ∠P_sOE con la letra griega α:

$$\text{cotan}\alpha =\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

De esta ecuación necesitamos hallar |h_s|, así que multiplicamos toda la ecuación por |P_sE| y obtenemos:

$$\text{cotan}\alpha \cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

Ya sabemos a qué es igual la altura. Sustituimos los valores:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \text{cotan}\alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

La altura mide aproximadamente 12. El área del rectángulo, y por tanto también la del triángulo, es igual a

$$A_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Tras sustituir, tenemos:

$$A_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

El área de un triángulo es aproximadamente 60. Como tenemos ocho triángulos en total, el área del octógono regular de lado a = 10 es aproximadamente

$$A=8\cdot A_{\mathrm{△}}=480$$

¿Cómo obtenemos de aquí la fórmula? Para un polígono regular de n lados y lado de longitud a se cumpliría

$$A=n\cdot A_{\mathrm{△}}$$

Y nos falta la fórmula general de $A_{\mathrm{△}}$:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \text{cotan}\alpha \cdot \frac{a}{2}$$

El ángulo α es la mitad de la amplitud del ángulo que el triángulo forma en el centro O, es decir,

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Sustituimos de vuelta:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \text{cotan}\frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Y simplificamos un poco:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \text{cotan}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

En el último paso solo multiplicamos este valor por el número de lados del polígono de n lados y tenemos la fórmula final:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \text{cotan}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Calculadora: calcula el área del polígono regular de n lados