Säännöllisen monikulmion pinta-ala

Säännöllinen monikulmio on esimerkiksi neliö — se on monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Tällainen on esimerkiksi säännöllinen kahdeksankulmio:

Miten tällaisen säännöllisen kahdeksankulmion pinta-ala lasketaan, jos sen sivun pituus tunnetaan? Olkoon esimerkiksi sivun pituus a = 10. Apuna käytetään sitä, että kahdeksankulmio jaetaan kahdeksaan yhtenevään kolmioon:

Näin työ yksinkertaistui — nyt riittää laskea yhden kolmion pinta-ala ja kertoa se kahdeksalla, jolloin saadaan koko kahdeksankulmion pinta-ala. Mitä näistä kolmioista tiedetään? Ne ovat tasakylkisiä kolmioita — keskipisteestä O lähtevien kahden sivun pituudet ovat aina yhtä suuret, ja kahdeksankulmion sivun pituus on eri (vain kuusikulmion voi jakaa kolmioihin, joiden kaikki sivut ovat yhtä pitkiä). Sivun FO pituus on siis sama kuin sivun EO pituus.

Minkä suuruisen kulman ne muodostavat kärjessä O? Eli mikä on esimerkiksi kulma ∠FOE? Nähdään, että kaikki kolmiot ovat samanlaisia, joten kaikkien kärjessä O olevien kulmien täytyy olla yhtä suuria. Samalla tiedetään, että kun nämä kulmat lasketaan yhteen, saadaan 360 astetta — yksi täysi kierros. Kulman ∠FOE suuruuden täytyy siis olla 360 jaettuna kulmien lukumäärällä eli kolmioiden lukumäärällä.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Koska kolmion kaikkien sisäkulmien summa on 180° ja koska kolmio on tasakylkinen, kahden muun kulman täytyy olla yhtä suuria, kumpikin 67,5°:

Miten tasakylkisen kolmion pinta-ala nyt lasketaan? Sivun FE pituus tunnetaan tehtävänannosta, se on |FE| = 10. Piirretään nyt kolmion korkeusjana, joka kulkee pisteen O kautta:

Tämä jana OP_s jakoi kolmion kahteen pienempään kolmioon, jotka ovat taas samanlaisia — ne ovat vain peilikuvia toisistaan. Järjestellään kolmioita vähän uudelleen. Otetaan kolmio FOP_s ja siirretään se niin, että kuvio muodostaa suorakulmion:

Tämän suorakulmion OF₁EP_s pinta-ala on sama kuin kolmion FOE pinta-ala. Suorakulmion pinta-ala puolestaan lasketaan kertomalla sen kahden sivun pituudet keskenään:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Janan P_sE pituus tunnetaan, se on puolet sivun FE pituudesta, ja sen pituus on (tehtävänannon mukaan — se on kahdeksankulmion sivu) |FE| = 10. Jana P_sE on siis |P_sE| = 5 pitkä. Korkeuden h_s kanssa on hankalampaa. Koska kolmio P_sOE on suorakulmainen kolmio, voidaan käyttää trigonometrisia funktioita. Kulma ∠P_sOE on puolet alkuperäisen kulman ∠FOE suuruudesta, eli

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Nyt hyödynnetään sitä, että kulman kotangentti on viereisen kateetin ja vastaisen kateetin pituuksien suhde. Selvyyden vuoksi merkitään kulmaa ∠P_sOE kreikkalaisella kirjaimella α:

$$\cot \alpha =\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

Tästä yhtälöstä tarvitaan |h_s|, joten kerrotaan koko yhtälö luvulla |P_sE|, jolloin saadaan:

$$\cot \alpha \cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

Nyt tiedetään, minkä suuruinen korkeus on. Sijoitetaan arvot:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \cot \alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Korkeus on likimain 12 pitkä. Suorakulmion ja siis myös kolmion pinta-ala on

$$A_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Sijoituksen jälkeen saadaan:

$$A_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Yhden kolmion pinta-ala on noin 60. Koska kolmioita on yhteensä kahdeksan, säännöllisen kahdeksankulmion, jonka sivun pituus on a = 10, pinta-ala on likimain

$$A=8\cdot A_{\mathrm{△}}=480$$

Miten tästä saadaan kaava? Yleiselle n-kulmiolle, jonka sivun pituus on a, pätisi

$$A=n\cdot A_{\mathrm{△}}$$

Puuttuu vielä yleinen kaava pinta-alalle $A_{\mathrm{△}}$:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Kulma α on puolet sen kulman suuruudesta, jonka kolmio muodostaa keskipisteessä O, eli

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Sijoitetaan takaisin:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Ja siistitään vielä vähän:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Viimeisessä vaiheessa kerrotaan tämä arvo n-kulmion sivujen lukumäärällä, ja lopullinen kaava on valmis:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Laskin: laske säännöllisen n-kulmion pinta-ala