Лице на правилен многоъгълник

Правилният многоъгълник е например квадратът: това е многоъгълник, който има всички страни еднакво дълги и всички ъгли еднакво големи. Така изглежда например правилен осмоъгълник:

Как бихме изчислили лицето на такъв правилен осмоъгълник, ако знаем дължината на страната му? Да кажем например, че страната има дължина a = 10. Ще си помогнем, като разделим осмоъгълника на осем еднакви триъгълника:

Така си облекчихме работата: сега ни е достатъчно да пресметнем лицето на един от триъгълниците и да умножим това лице по осем, с което получаваме лицето на целия осмоъгълник. Какво знаем за тези триъгълници? Те са равнобедрени триъгълници: дължините на двете страни, които излизат от центъра O, са винаги еднакви, а дължината на страната на осмоъгълника е друга (само шестоъгълник можем да разделим на триъгълници, които имат всички страни еднакво дълги). Следователно дължината на страната FO е същата като дължината на страната EO.

Какъв ъгъл сключват при върха O? Тоест колко е например ъгълът ∠FOE? Виждаме, че всички триъгълници са еднакви и всички ъгли при върха O затова трябва да имат една и съща мярка. Знаем също, че когато съберем мерките на всички тези ъгли, получаваме 360 градуса, едно пълно завъртане. Мярката на ъгъл ∠FOE трябва затова да е равна на 360, разделено на броя на ъглите, тоест на броя на триъгълниците.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Тъй като сборът от всички вътрешни ъгли в триъгълник е 180° и тъй като имаме равнобедрен триъгълник, другите два ъгъла трябва да имат една и съща мярка 67,5°:

Как сега да изчислим лицето на равнобедрения триъгълник? Дължината на страната FE знаем от условието, това е |FE| = 10. Начертаваме сега височината на триъгълника, която минава през точката O:

Тази отсечка OH_s раздели триъгълника на два по-малки триъгълника, които пак са еднакви, само че са огледално обърнати. Да наредим триъгълниците малко по друг начин. Вземаме триъгълника FOH_s и го преместваме така, че фигурата да образува правоъгълник:

Този правоъгълник OF₁EH_s има същото лице като нашия триъгълник FOE. Лицето на правоъгълник пресмятаме като произведение от дължините на двете му страни:

$$S_{◻}=|h_s|\cdot |H_{s}E|$$

Дължината на отсечката H_sE знаем, тя е половината от дължината на страната FE, а тя има дължина (според условието, това е страната на осмоъгълника) |FE| = 10. Следователно отсечката H_sE има дължина |H_sE| = 5. По-зле е с височината h_s. Тъй като триъгълникът H_sOE е правоъгълен триъгълник, можем да използваме тригонометричните функции. Ъгълът ∠H_sOE има половината от мярката на първоначалния ъгъл ∠FOE, тоест

$$\mathrm{\angle }{H}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Сега използваме факта, че котангенсът на ъгъл е равен на отношението на дължината на прилежащия катет към срещулежащия катет. За по-голяма прегледност означаваме ъгъла ∠H_sOE с гръцката буква α:

$$\mathrm{cotg}\alpha =\frac{|h_s|}{|H_{s}E|}$$

От това уравнение ние трябва да намерим |h_s|, затова цялото уравнение умножаваме по |H_sE|, с което получаваме:

$$\mathrm{cotg}\alpha \cdot |H_{s}E|=|h_s|$$

Сега знаем на какво е равна височината. Заместваме стойностите:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \mathrm{cotg}\alpha \cdot |H_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Височината има дължина приблизително 12. Лицето на правоъгълника и следователно и на триъгълника е равно на

$$S_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |H_{s}E|$$

След заместването имаме:

$$S_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Лицето на един триъгълник е равно на около 60. Тъй като имаме общо осем триъгълника, лицето на правилния осмоъгълник със страна a = 10 е равно приблизително на

$$S=8\cdot S_{\mathrm{△}}=480$$

Как от това да получим формула? За общ n-ъгълник със страна a имаме

$$S=n\cdot S_{\mathrm{△}}$$

И остава да намерим общата формула за $S_{\mathrm{△}}$:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{cotg}\alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Ъгълът α е половината от мярката на ъгъла, който триъгълникът сключва при центъра O, тоест

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Заместваме обратно:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{cotg}\frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

И само малко опростяваме:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \mathrm{cotg}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

В последната стъпка само умножаваме тази стойност по броя на страните на n-ъгълника и получаваме търсената формула:

$$S=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \mathrm{cotg}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Калкулатор: изчисли лицето на правилен n-ъгълник