Área do polígono regular

O polígono regular é, por exemplo, o quadrado — é um polígono que tem todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma medida. Por exemplo, assim é um octógono regular:

Como calcularíamos a área desse octógono regular se conhecermos o comprimento do seu lado? Por exemplo, digamos que o lado tem comprimento a = 10. Para facilitar, vamos dividir o octógono em oito triângulos congruentes:

Com isso simplificamos o trabalho — agora basta calcular a área de um dos triângulos e multiplicá-la por oito, obtendo a área do octógono inteiro. O que sabemos sobre esses triângulos? São triângulos isósceles — os comprimentos dos dois lados que partem do centro O são sempre iguais e o comprimento do lado do octógono é outro (só o hexágono pode ser dividido em triângulos que têm os três lados iguais). Ou seja, o comprimento do lado FO é igual ao do lado EO.

Que ângulo eles formam no vértice O? Isto é, qual é, por exemplo, o ângulo ∠FOE? Vemos que todos os triângulos são iguais e, portanto, todos os ângulos no vértice O têm de ter a mesma medida. Ao mesmo tempo, sabemos que, somando as medidas de todos esses ângulos, obtemos 360 graus — uma volta completa. A medida do ângulo ∠FOE tem de ser, então, igual a 360 dividido pelo número de ângulos, isto é, dividido pelo número de triângulos.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Como a soma de todos os ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, e como temos um triângulo isósceles, os dois ângulos restantes têm de ter a mesma medida, 67,5°:

Como calculamos agora a área de um triângulo isósceles? Conhecemos o comprimento do lado FE pelo enunciado: é |FE| = 10. Vamos traçar agora a altura do triângulo que passa pelo ponto O:

Esse segmento OP_s dividiu o triângulo em dois triângulos menores que, por sua vez, são iguais — só estão espelhados. Vamos reorganizar um pouco os triângulos. Pegamos o triângulo FOP_s e o movemos de modo que a figura forme um retângulo:

Esse retângulo OF₁EP_s tem a mesma área que o nosso triângulo FOE. E calculamos a área do retângulo como o produto dos comprimentos dos seus dois lados:

$$A_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Conhecemos o comprimento do segmento P_sE: é metade do comprimento do lado FE, e este tem comprimento (conforme o enunciado — é o lado do octógono) |FE| = 10. O segmento P_sE tem, portanto, comprimento |P_sE| = 5. Com a altura h_s é mais difícil. Como o triângulo P_sOE é um triângulo retângulo, podemos usar as funções trigonométricas. O ângulo ∠P_sOE tem a metade da medida do ângulo original ∠FOE, ou seja,

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Agora usamos o fato de que a cotangente de um ângulo é igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente e o do cateto oposto. Para maior clareza, vamos indicar o ângulo ∠P_sOE pela letra grega α:

$$\mathrm{cotg}\alpha =\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

Precisamos obter |h_s| dessa equação, então multiplicamos a equação inteira por |P_sE| e obtemos:

$$\mathrm{cotg}\alpha \cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

Agora sabemos a que é igual a altura. Substituímos os valores:

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \mathrm{cotg}\alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

A altura tem comprimento de aproximadamente 12. A área do retângulo e, portanto, também a do triângulo é igual a

$$A_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

Depois da substituição, temos:

$$A_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

A área de um triângulo é igual a cerca de 60. Como temos ao todo oito triângulos, a área do octógono regular de lado a = 10 é aproximadamente igual a

$$A=8\cdot A_{\mathrm{△}}=480$$

Como chegamos daí à fórmula? Para um polígono regular de n lados, de lado a, valeria

$$A=n\cdot A_{\mathrm{△}}$$

E falta a fórmula geral de $A_{\mathrm{△}}$:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{cotg}\alpha \cdot \frac{a}{2}$$

O ângulo α é a metade da medida do ângulo que o triângulo forma no centro O, isto é,

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Substituímos de volta:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{cotg}\frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

E arrumamos só um pouco:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \mathrm{cotg}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

No último passo, é só multiplicar esse valor pelo número de lados do polígono de n lados e temos a fórmula final:

$$A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \mathrm{cotg}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Calculadora: calcule a área do polígono regular de n lados