Bileşik Faiz

Faizi birden çok kez uygulamamız gerektiğinde bileşik faizden söz ederiz. Yılda bir kez faiz işletilen bir borcumuz varsa ve beş yıl borçluysak, borca beş kez faiz işletilir. Buna bileşik faiz diyoruz.

Bileşik Faiz

Borç tutarına birkaç kez faiz işletiliyorsa bileşik faizden söz edilir. Önceki formülde yüzdeleri kullandık, bundan sonrası için yüzdeyi sıradan bir ondalık sayıya çevirmek daha kolay olacak. Bunu yapmak basit: yüzdeyi 100’e böleriz. Faiz %50 ise 0,5 değerini, yani yarımı buluruz. Faiz %7 ise 0,07 sayısını buluruz. Bu ondalık sayıyı “i” harfiyle göstereceğim. Formül şöyle olabilir:

$$i=\frac{\text{faiz oranı}}{100}$$

Bu sayıyla borç tutarını çarparsak doğrudan faizi buluruz. Vik Amca’nın bize yıllık %10 faizle iki milyon lira ödünç verdiğini varsayalım. Ondalık sayı olarak 0,1. Bir yıl sonra faiz 2.000.000 · 0,1 = 200.000 olur. Yani ödünç aldığımızdan 200.000 lira fazla öderiz. Peki sonraki yıl faiz ne olur? İlk tutarı almalı, ilk faizi eklemeli ve yine 0,1 ile çarpmalıyız:

$$(2.000.000+200.000)\cdot 0,1=220.000$$

Bir yıl daha sonra faiz olarak 220.000 öderiz, yani ilk yıldan daha fazla.

Faizi değil de doğrudan borç tutarını bulmak istiyorsak, ondalık sayı biçimindeki faiz oranına bir eklemek ve borç tutarını bu ifadeyle çarpmak yeterli:

$$2.000.000\cdot 1,1=2.200.000$$

İlk yıldan sonra 2.200.000 lira borcumuz olur. Üç yıl sonraki borç tutarını hesaplamak istiyorsak 1,1 ile art arda birkaç kez çarparız:

$$((2.000.000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=2.662.000$$

Buradan yavaş yavaş bir formül beliriyor, çünkü çarpmada sıra da parantezler de fark etmez, bu yüzden ifadeyi şöyle yazabiliriz:

$$2.000.000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Bunu da üslü ifadeler yardımıyla yazarız:

$$2.000.000\cdot 1,1^3$$

Buradan genel formülü kolayca çıkarabiliriz.

Bileşik Faizin Son Formülü

Aşağıda bileşik faizin tam formülü var, sonra açıklayacağım:

$$K_t=K_0\cdot (1+i{)}^t$$

“K” harfi anaparayı, yani borç tutarını gösterir. Alt indis, kaç kez faiz işletildiğini belirtir. K₀ sembolü, henüz hiç faiz işletilmemiş tutarı gösterir: başlangıçta aldığımız tutardır (Vik Amca’dan gelen iki milyon). “t” harfi hesaplamak istediğimiz faiz işletme sayısını belirtir. On yıl ileriye hesaplamak istiyorsak t = 10 olur. K_t sembolü ise t kez faiz işletildikten sonraki borç tutarını gösterir. “i” harfi ise faiz oranını ondalık yazılışla gösterir (yukarıya bak).

Bütün tutarı Vik Amca’ya ancak 15 yıl sonra geri verseydik ne kadar faiz ödeyeceğimizi hesaplamayı deneyelim:

$$K_t=K_0\cdot (1+i{)}^t=2.000.000\cdot (1+0,1{)}^{15}=8.354.496$$

Dikkat et: bu doğrudan faiz değil, ortaya çıkan borç tutarıdır. Sadece faizi istersek ilk borç tutarını, yani iki milyonu çıkarmamız gerekir: 6.354.496.

Örnek

Mehmet yeni bir araba almak istedi, tabii ki parası yoktu, bu yüzden yarım milyon, 500.000 lira borç aldı. Faiz oranı %8’di ve faiz her yıl işletiliyordu. Mehmet çok savurgandı, bu yüzden ilk yıl sadece yirmi bin, 20.000 lira ödedi. Borç tutarı 480.000’e düştü. Ama yıl sonunda faiz işletildi ve faiz 480.000 · 0,08 = 38.400 olarak hesaplandı. Yılbaşında Mehmet’in borcu artık 480.000 + 38.400 = 518.400 idi. Bu, başlangıçtakinden daha fazla.

Mehmet bundan hiç tedirgin olmadı ve yine sadece 20.000 ödedi. Böylece borcu 498.400 oldu. Faiz işletilince 538.272’ye çıktı. Borç tutarı geçen yıldan da, ondan önceki yıldan da yüksekti. Mehmet bunu fark etmedi ve yılda sadece 20.000 ödemeye devam etti. Ömrü boyunca ödedi, yine de milyonlarca liralık borçla hayata gözlerini yumdu. Sen böyle yapma.

Daha Fazla Okuma

Bileşik faiz, Euler sayısıyla yakından ilgilidir. O hâlde Euler sayısının nereden çıktığını okumayı unutma. Konut kredisinin faizini hesaplamak istersen de bileşik faize ihtiyacın olacak: konut kredisinin faizi nasıl hesaplanır.